Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1;2;5 \right)$ và $B\left( 3;-2;1 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh $I$ là trung điểm của $AB$, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB$. Khi $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ đi qua điểm $C\left( 2;\sqrt{3};3 \right)$ và có phương trình dạng $x+by+cz+d=0$. Tính giá trị biểu thức $T=b+c+d$.
A. $-5+\sqrt{3}$.
B. $-2+\sqrt{3}$.
C. $5+\sqrt{3}$.
D. $-2+\sqrt{3}$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-4;-4 \right)\Rightarrow AB=4\sqrt{3}$.
Gọi $\left( C \right)$ là mặt cầu tâm $I$, đường kính $AB$ nên $\left( C \right):\left\{ \begin{matrix}
I\left( 1;0;3 \right) \\
R=2\sqrt{3} \\
\end{matrix} \right.$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đáy hình nón.
Gọi $CD$ là đường kính đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$ nên $r=\dfrac{CD}{2}$.
Gọi ${I}'$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right)$ nên $h=I{I}'$ và ${{h}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}=12$.
Áp dụng bất đẳng thức Am – gm:
${{V}^{2}}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{9}{{h}^{2}}{{r}^{4}}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{18}2{{h}^{2}}{{r}^{2}}{{r}^{2}}\le \dfrac{{{\pi }^{2}}}{18}\dfrac{{{\left( 2{{h}^{2}}+{{r}^{2}}+{{r}^{2}} \right)}^{3}}}{3}=256{{\pi }^{2}}\Rightarrow V\le 16\pi $.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $2{{h}^{2}}={{r}^{2}}\Rightarrow h=2\Rightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=2$.
Mặt khác $\overrightarrow{IC}=\left( 1;\sqrt{3};0 \right)\Rightarrow IC=d\left( I,\left( P \right) \right)$ nên $IC\bot \left( P \right)$ và $C\in \left( P \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{IC}=\left( 1;\sqrt{3};0 \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):x+\sqrt{3}y-5=0\Rightarrow b+c+d=-5+\sqrt{3}$.
A. $-5+\sqrt{3}$.
B. $-2+\sqrt{3}$.
C. $5+\sqrt{3}$.
D. $-2+\sqrt{3}$.
Gọi $\left( C \right)$ là mặt cầu tâm $I$, đường kính $AB$ nên $\left( C \right):\left\{ \begin{matrix}
I\left( 1;0;3 \right) \\
R=2\sqrt{3} \\
\end{matrix} \right.$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đáy hình nón.
Gọi $CD$ là đường kính đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$ nên $r=\dfrac{CD}{2}$.
Gọi ${I}'$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right)$ nên $h=I{I}'$ và ${{h}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}=12$.
Áp dụng bất đẳng thức Am – gm:
${{V}^{2}}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{9}{{h}^{2}}{{r}^{4}}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{18}2{{h}^{2}}{{r}^{2}}{{r}^{2}}\le \dfrac{{{\pi }^{2}}}{18}\dfrac{{{\left( 2{{h}^{2}}+{{r}^{2}}+{{r}^{2}} \right)}^{3}}}{3}=256{{\pi }^{2}}\Rightarrow V\le 16\pi $.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $2{{h}^{2}}={{r}^{2}}\Rightarrow h=2\Rightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=2$.
Mặt khác $\overrightarrow{IC}=\left( 1;\sqrt{3};0 \right)\Rightarrow IC=d\left( I,\left( P \right) \right)$ nên $IC\bot \left( P \right)$ và $C\in \left( P \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{IC}=\left( 1;\sqrt{3};0 \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):x+\sqrt{3}y-5=0\Rightarrow b+c+d=-5+\sqrt{3}$.
Đáp án A.