Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -1;2;4 \right), B\left( -1;-2;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):z-1=0$. Điểm $M\left( a;b;c \right)\in \left( P \right)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và diện tích tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Tính ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$.
A. $0$
B. $-1$
C. $10$.
D. $1$.
Ta có $A, B$ cùng phía với $\left( P \right)$ và $d\left( A,\left( P \right) \right)=3d\left( B,\left( P \right) \right)=3$.
Gọi ${A}', {B}'$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ lên $\left( P \right)\Rightarrow {A}'\left( -1;2;1 \right), {B}'\left( -1;-2;1 \right)\Rightarrow {A}'{B}'=4$.
Gọi $I, {I}'$ lần lượt là trung điểm của $AB, {A}'{B}'\Rightarrow I{I}'\bot \left( P \right), I\left( -1;0;3 \right), {I}'\left( -1;0;1 \right), I{I}'=2={I}'{B}' $.
Tam giác $MAB$ vuông tại $M\Rightarrow M$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $I$, bán kính $IA=IB=\sqrt{5}$ với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Đường tròn giao tuyến có tâm ${I}'$, bán kính $r={I}'M=\sqrt{{{R}^{2}}-{I}'{{I}^{2}}}=1\Rightarrow {B}'$ nằm ngoài đường tròn này.
${{S}_{MAB}}=\dfrac{1}{2}AB.d\left( M,AB \right)\Rightarrow {{\left( {{S}_{MAB}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M={A}'{B}'\cap \left( {I}',r \right) \\
& {I}'M+M{B}'={I}'{B}' \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow M $ là trung điểm của $ {I}'{B}'$.
Như vậy, ta được $M\left( -1;-1;1 \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-1$.
A. $0$
B. $-1$
C. $10$.
D. $1$.
Gọi ${A}', {B}'$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ lên $\left( P \right)\Rightarrow {A}'\left( -1;2;1 \right), {B}'\left( -1;-2;1 \right)\Rightarrow {A}'{B}'=4$.
Gọi $I, {I}'$ lần lượt là trung điểm của $AB, {A}'{B}'\Rightarrow I{I}'\bot \left( P \right), I\left( -1;0;3 \right), {I}'\left( -1;0;1 \right), I{I}'=2={I}'{B}' $.
Tam giác $MAB$ vuông tại $M\Rightarrow M$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $I$, bán kính $IA=IB=\sqrt{5}$ với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Đường tròn giao tuyến có tâm ${I}'$, bán kính $r={I}'M=\sqrt{{{R}^{2}}-{I}'{{I}^{2}}}=1\Rightarrow {B}'$ nằm ngoài đường tròn này.
${{S}_{MAB}}=\dfrac{1}{2}AB.d\left( M,AB \right)\Rightarrow {{\left( {{S}_{MAB}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M={A}'{B}'\cap \left( {I}',r \right) \\
& {I}'M+M{B}'={I}'{B}' \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow M $ là trung điểm của $ {I}'{B}'$.
Như vậy, ta được $M\left( -1;-1;1 \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-1$.
Đáp án B.