Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;1;3 \right)$, $B\left( 6;5;5 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ ngoại tiếp mặt cầu đường kính $AB$ có $B$ là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi $S$ là đỉnh của khối nón $\left( N \right)$. Khi thể tích khối nón $\left( N \right)$ nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh $S$ và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình $2x+by+cz+d=0$. Tính $T=b+c+d$.
A. $T=12$.
B. $T=18$.
C. $T=24$.
D. $T=36$.
A. $T=12$.
B. $T=18$.
C. $T=24$.
D. $T=36$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ có tâm $I\left( 4;3;4 \right)$, bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=3$.
Giả sử thiết diện qua trục hình nón là tam giác $SMN$.
Gọi $r$, $h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón ( ${h>6}$ ).
$I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $SMN$ ta có: $R=\dfrac{{{S}_{SMN}}}{{{P}_{SMN}}}$
$\Rightarrow 3=\dfrac{\dfrac{1}{2}MN.SB}{\dfrac{1}{2}\left( SM+SN+MN \right)}$
$\Leftrightarrow 3=\dfrac{r.h}{r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow 3\left( r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}} \right)=rh$
$\Leftrightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{9h}{h-6}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{9{{h}^{2}}}{h-6}=f\left( h \right)$.
${f}'\left( h \right)=3\pi .\dfrac{{{h}^{2}}-12h}{{{\left( h-6 \right)}^{2}}}$.
${f}'\left( h \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=0 \\
& h=12. \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
$V$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow h=12$.
Ta có $\overrightarrow{IS}=3\overrightarrow{BI}\Rightarrow S\left( -2;-3;1 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $S\left( -2;-3;1 \right)$, có vec-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=2\left( 2;2;1 \right)$ là $2x+2y+z+9=0$.
Suy ra ${b=2}$ ; ${c=1}$ ; ${d=9}$. Vậy $T=b+c+d=12$.
Giả sử thiết diện qua trục hình nón là tam giác $SMN$.
$I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $SMN$ ta có: $R=\dfrac{{{S}_{SMN}}}{{{P}_{SMN}}}$
$\Rightarrow 3=\dfrac{\dfrac{1}{2}MN.SB}{\dfrac{1}{2}\left( SM+SN+MN \right)}$
$\Leftrightarrow 3=\dfrac{r.h}{r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow 3\left( r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}} \right)=rh$
$\Leftrightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{9h}{h-6}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{9{{h}^{2}}}{h-6}=f\left( h \right)$.
${f}'\left( h \right)=3\pi .\dfrac{{{h}^{2}}-12h}{{{\left( h-6 \right)}^{2}}}$.
${f}'\left( h \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=0 \\
& h=12. \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Ta có $\overrightarrow{IS}=3\overrightarrow{BI}\Rightarrow S\left( -2;-3;1 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $S\left( -2;-3;1 \right)$, có vec-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=2\left( 2;2;1 \right)$ là $2x+2y+z+9=0$.
Suy ra ${b=2}$ ; ${c=1}$ ; ${d=9}$. Vậy $T=b+c+d=12$.
Đáp án A.