Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 0;2;1 \right),B\left( 1;2;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+1=0$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$, song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left( 1;a;b \right)$. Khi đó $a+2b$ bằng.
A. $-11$.
B. $22$.
C. $-\dfrac{1}{2}$.
D. $1$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( 0;2;1 \right)$ và song song với $\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;-1;0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y+2=0$.
Vì đường thẳng $d$ đi qua $A$, song song với mặt phẳng với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $d\subset \left( Q \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ lên đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$.
Khi đó $d\left( B;\left( d \right) \right)=BH\ge BK$. Suy ra $d{{\left( B;d \right)}_{\min }}=BK\Leftrightarrow H\equiv K$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 2;-1;0 \right)$.
Phương trình tham số$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $. Lấy $ H\left( 1+2t;2-t;3 \right)\in \Delta $.
Vì $H\in \left( Q \right)$ nên $2\left( 1+2t \right)-2+t+2=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{5}$.
Suy ra $H\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{12}{5};3 \right)$. Khi đó $\overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{2}{5};2 \right)=\dfrac{1}{5}\left( 1;2;10 \right)$.
Suy ra một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;10 \right)\Rightarrow a=2,b=10$.
Vậy $a+2b=2+2.10=22$.
A. $-11$.
B. $22$.
C. $-\dfrac{1}{2}$.
D. $1$.
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y+2=0$.
Vì đường thẳng $d$ đi qua $A$, song song với mặt phẳng với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $d\subset \left( Q \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ lên đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$.
Khi đó $d\left( B;\left( d \right) \right)=BH\ge BK$. Suy ra $d{{\left( B;d \right)}_{\min }}=BK\Leftrightarrow H\equiv K$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{n}_{p}}}=\left( 2;-1;0 \right)$.
Phương trình tham số$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $. Lấy $ H\left( 1+2t;2-t;3 \right)\in \Delta $.
Vì $H\in \left( Q \right)$ nên $2\left( 1+2t \right)-2+t+2=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{2}{5}$.
Suy ra $H\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{12}{5};3 \right)$. Khi đó $\overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{1}{5};\dfrac{2}{5};2 \right)=\dfrac{1}{5}\left( 1;2;10 \right)$.
Suy ra một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;10 \right)\Rightarrow a=2,b=10$.
Vậy $a+2b=2+2.10=22$.
Đáp án B.
