Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;5;3 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $\left( P \right)$ bằng
A. $\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{3}{\sqrt{6}}$.
C. $\dfrac{11\sqrt{2}}{6}$.
D. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
A. $\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{3}{\sqrt{6}}$.
C. $\dfrac{11\sqrt{2}}{6}$.
D. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$, với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$.
Điểm $M\left( 1;0;2 \right)\in d\Rightarrow M\in \left( P \right)$.
Phương trình của $\left( P \right):ax+by+cz-\left( a+2c \right)=0$.
Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{u}\Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 2a+b+2c=0$.
$\Rightarrow b=-\left( 2a+2c \right)\Rightarrow d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{|a+5b+c|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{9|a+c|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}}}$.
Ta có ${{\left( a+c \right)}^{2}}\le 2\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{2}\le {{a}^{2}}+{{c}^{2}}$ với $\forall a,c\in \mathbb{R}.$
Suy ra: ${{a}^{2}}+{{c}^{2}}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{2}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}=\dfrac{9}{2}{{\left( a+c \right)}^{2}}.$
Do đó $d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{9|a+c|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}}}\le \dfrac{9|a+c|}{\sqrt{\dfrac{9}{2}{{\left( a+c \right)}^{2}}}}=\dfrac{9|a+c|\sqrt{2}}{3|a+c|}=3\sqrt{2}.$
$\Rightarrow Max d\left( A,\left( P \right) \right)=3\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=c \\
& b=-4a \\
\end{aligned} \right. $. Chọn $ a=c=1\Rightarrow b=-4.$
Phương trình $\left( P \right):x-4y+z-3=0\Rightarrow d\left( O,\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Điểm $M\left( 1;0;2 \right)\in d\Rightarrow M\in \left( P \right)$.
Phương trình của $\left( P \right):ax+by+cz-\left( a+2c \right)=0$.
Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{u}\Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 2a+b+2c=0$.
$\Rightarrow b=-\left( 2a+2c \right)\Rightarrow d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{|a+5b+c|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{9|a+c|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}}}$.
Ta có ${{\left( a+c \right)}^{2}}\le 2\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{2}\le {{a}^{2}}+{{c}^{2}}$ với $\forall a,c\in \mathbb{R}.$
Suy ra: ${{a}^{2}}+{{c}^{2}}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{2}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}=\dfrac{9}{2}{{\left( a+c \right)}^{2}}.$
Do đó $d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{9|a+c|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+4{{\left( a+c \right)}^{2}}}}\le \dfrac{9|a+c|}{\sqrt{\dfrac{9}{2}{{\left( a+c \right)}^{2}}}}=\dfrac{9|a+c|\sqrt{2}}{3|a+c|}=3\sqrt{2}.$
$\Rightarrow Max d\left( A,\left( P \right) \right)=3\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=c \\
& b=-4a \\
\end{aligned} \right. $. Chọn $ a=c=1\Rightarrow b=-4.$
Phương trình $\left( P \right):x-4y+z-3=0\Rightarrow d\left( O,\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Đáp án D.