Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ và đường...

Gọi khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $\left( P \right)$ là $AH$, khoảng cách từ $A$ tới đường thẳng $d$ là $AK$ không đổi.
Nhận xét $AH\le AK$
Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow H\equiv K$ Khi đó $AK$ vuông góc mặt phẳng $\left( P \right)$ tại $K$.
Mặt phẳng $\left( AHK \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-1;-2 \right)$ và đi qua $A\left( 0;1;2 \right)$
$\Rightarrow \left( AHK \right):2x-y-2z+5=0$.
Thế $\left\{ \begin{aligned}
& x=4+2t \\
& y=2-t \\
& z=1-2t \\
\end{aligned} \right. $vào $ 2x-y-2z+5=0\Rightarrow 2\left( 4+2t \right)-2+t-2\left( 1-2t \right)+5=0\Leftrightarrow t=-1$
Suy ra $K\left( 2;3;3 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AK}=\left( 2;2;1 \right)$ và đi qua $K\left( 2;3;3 \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):2x+2y+z-13=0$.
Vậy $d\left[ M;\left( P \right) \right]=\dfrac{\left| 2.5+2\left( -1 \right)+3-13 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{2}{3}$.