Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ ( $a, b$ là các số thực). Có bao nhiêu cặp số $\left( a; b \right)$ để phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}-3=\left( 1-\left| {{z}_{2}} \right| \right)i$ ?
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Ta có $\Delta ={{a}^{2}}-4b$.
- TH1: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4b\ge 0$ thì ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\in \mathbb{R}$.
${{z}_{1}}-3=\left( 1-\left| {{z}_{2}} \right| \right)i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}-3=0 \\
& 0=1-\left| {{z}_{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& S=4 \\
& P=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=4 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-4 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa).
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& S=2 \\
& P=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=2 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa).
- TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4b<0$ thì ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\notin \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
${{z}_{1}}-3=\left( 1-\left| {{z}_{2}} \right| \right)i\Leftrightarrow {{z}_{1}}=3+\left( 1-\left| {{z}_{1}} \right| \right)i\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{9+{{\left( 1-\left| {{z}_{1}} \right| \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}=10-2\left| {{z}_{1}} \right|+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=5$
$\Rightarrow {{z}_{1}}=3-4i\Rightarrow {{z}_{2}}=3+4i$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& S=6 \\
& P=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=6 \\
& b=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-6 \\
& b=25 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa).
Vậy có 3 cặp số $\left( a; b \right)$ thỏa.
- TH1: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4b\ge 0$ thì ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\in \mathbb{R}$.
${{z}_{1}}-3=\left( 1-\left| {{z}_{2}} \right| \right)i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}-3=0 \\
& 0=1-\left| {{z}_{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& S=4 \\
& P=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=4 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-4 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa).
$\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=3 \\
& {{z}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& S=2 \\
& P=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=2 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa).
- TH2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4b<0$ thì ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\notin \mathbb{R}\Rightarrow {{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
${{z}_{1}}-3=\left( 1-\left| {{z}_{2}} \right| \right)i\Leftrightarrow {{z}_{1}}=3+\left( 1-\left| {{z}_{1}} \right| \right)i\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{9+{{\left( 1-\left| {{z}_{1}} \right| \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}=10-2\left| {{z}_{1}} \right|+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=5$
$\Rightarrow {{z}_{1}}=3-4i\Rightarrow {{z}_{2}}=3+4i$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& S=6 \\
& P=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -a=6 \\
& b=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-6 \\
& b=25 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa).
Vậy có 3 cặp số $\left( a; b \right)$ thỏa.
Đáp án C.