Trên tập số phức xét phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0 \left( a,b\in...

Ta có $\Delta ={{a}^{2}}-4b$
Trường hợp 1: $\Delta >0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4b>0$ phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Khi đó:
${{\left| {{z}_{1}}+1 \right|}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+1=2 \\
& {{z}_{1}}+1=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=1 \\
& {{z}_{1}}=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
$\left| {{z}_{2}}-3-2i \right|=3\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}=9$ $\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{2}}-3 \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{2}}=3+\sqrt{5} \\
& {{z}_{2}}=2-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 4 cặp nghiệm $\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \right)$ nên có 4 cặp $\left( a,b \right)$ tương ứng.
Trường hợp 2: $\Delta <0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4b<0$. Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp
${{z}_{1}}=x+yi, {{z}_{2}}=x-yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x=3 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-4y=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4x+4y-7=0 \left( d \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-3=0 \left( C \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( I \right)$
Xét đường tròn $\left( C \right):$ Tâm $I\left( 1;0 \right),R=2$
Ta có $d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| 4-7 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{8}<R=2$
Suy ra đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$ có 2 điểm chung. Nên hệ $\left( I \right)$ có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra có 2 cặp $\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \right)$ nên có 2 cặp $\left( a,b \right)$ tương ứng.
Vậy có 6 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn.