Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ $\left(...

Ta có $\Delta ={{a}^{2}}-4b$.
TH1: ${{a}^{2}}-4b>0$, phương trình có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$. Khi đó
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1 \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}}-3+2i \right|=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+1=\pm 2 \\
& \sqrt{{{\left( {{z}_{2}}-3 \right)}^{2}}+4}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=1 \\
& {{z}_{1}}=-3 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{z}_{2}}=3\pm 2\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right. $, suy ra có 4 cặp $ \left( a,b \right)$ thỏa mãn.
TH2: ${{a}^{2}}-4b<0$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp ${{z}_{1}}=x+yi$, ${{z}_{2}}=x-yi$. $x, y\in \mathbb{R}$ ; $y\ne 0$. Theo giả thiết, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1 \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}}-3+2i \right|=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2 \\
& \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( -y+2 \right)}^{2}}}=4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-3=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-4y-3=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{5} \\
& y=-\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra ${{z}_{1}}=-1+2i, {{z}_{2}}=-1-2i$ hoặc ${{z}_{1}}=\dfrac{3}{5}-\dfrac{6}{5}i$, ${{z}_{2}}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i$ ; do đó có 2 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa mãn điều kiện ${{a}^{2}}-4b<0$ trong trường hợp này.
Vậy có tất cả có 6 cặp $\left( a,b \right)$ thỏa yêu cầu bài.