Google
Câu hỏi: Trên tập số phức, xét phưong trình ${{z}^{2}}+az+b=0 \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Có bao nhiêu cặp số $\left( a,b \right)$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-2 \right|=2$ và $\left| {{z}_{2}}+1-4i \right|=4$ ?
A. 2.
B. 3.
C. 6.
D. 4.
A. 2.
B. 3.
C. 6.
D. 4.
Ta có $\Delta ={{a}^{2}}-4b$
TH1. $\Delta >0\Rightarrow {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{R}$
$\left| {{z}_{1}}-2 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}-2=2 \\
& {{z}_{1}}-2=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=4 \\
& {{z}_{1}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\left| {{z}_{2}}+1-4i \right|=4\Rightarrow {{\left( {{z}_{2}}+1 \right)}^{2}}+16=16\Leftrightarrow {{z}_{2}}+1=0\Leftrightarrow {{z}_{2}}=-1.$
Với ${{z}_{1}}=4,{{z}_{2}}=-1$ có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}=b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-3 \left( \text{tm} \right) \\
& b=-4 \left( \text{tm} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{z}_{1}}=0,{{z}_{2}}=-1$ có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}=b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \left( \text{tm} \right) \\
& b=0 \left( \text{tm} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy TH1 có 2 cặp số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
TH2. $\Delta <0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=x+yi \\
& {{z}_{2}}=x-yi \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-2 \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}}+1-4i \right|=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| x+yi-2 \right|=2 \\
& \left| x-yi+1-4i \right|=4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+8y+1=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được: $6x+8y+1=0\Rightarrow y=\dfrac{-6x-1}{8}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{6x+1}{8} \right)}^{2}}-4x=0$
$\Leftrightarrow 100{{x}^{2}}-244x+1=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{61+4\sqrt{231}}{50} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{61-4\sqrt{231}}{50} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{y}_{1}}=\dfrac{-416-24\sqrt{231}}{400} \\
& {{y}_{2}}=\dfrac{-416+24\sqrt{231}}{400} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy TH2 có $2$ cặp số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
Vậy có $4$ cặp số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
TH1. $\Delta >0\Rightarrow {{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{R}$
$\left| {{z}_{1}}-2 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}-2=2 \\
& {{z}_{1}}-2=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=4 \\
& {{z}_{1}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\left| {{z}_{2}}+1-4i \right|=4\Rightarrow {{\left( {{z}_{2}}+1 \right)}^{2}}+16=16\Leftrightarrow {{z}_{2}}+1=0\Leftrightarrow {{z}_{2}}=-1.$
Với ${{z}_{1}}=4,{{z}_{2}}=-1$ có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}=b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-3 \left( \text{tm} \right) \\
& b=-4 \left( \text{tm} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{z}_{1}}=0,{{z}_{2}}=-1$ có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\
& {{z}_{1}}{{z}_{2}}=b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \left( \text{tm} \right) \\
& b=0 \left( \text{tm} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy TH1 có 2 cặp số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
TH2. $\Delta <0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=x+yi \\
& {{z}_{2}}=x-yi \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-2 \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}}+1-4i \right|=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| x+yi-2 \right|=2 \\
& \left| x-yi+1-4i \right|=4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
& {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+8y+1=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được: $6x+8y+1=0\Rightarrow y=\dfrac{-6x-1}{8}$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{6x+1}{8} \right)}^{2}}-4x=0$
$\Leftrightarrow 100{{x}^{2}}-244x+1=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{61+4\sqrt{231}}{50} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{61-4\sqrt{231}}{50} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{y}_{1}}=\dfrac{-416-24\sqrt{231}}{400} \\
& {{y}_{2}}=\dfrac{-416+24\sqrt{231}}{400} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy TH2 có $2$ cặp số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
Vậy có $4$ cặp số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
Đáp án D.