Google
Câu hỏi: Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp, là một hình hộp đứng có đáy hình vuông, không nắp, thể tích là $4 \mathrm{~cm}^3$. Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ là ít nhất. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau.
A. Cạnh đáy bằng $4 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $1 \mathrm{~cm}$.
B. Cạnh đáy bằng $1 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $2 \mathrm{~cm}$.
C. Cạnh đáy bằng $1 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $4 \mathrm{~cm}$.
D. Cạnh đáy bằng $2 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $1 \mathrm{~cm}$.
Giả sử chiều cao của hộp là $h(\mathrm{~cm})$, cạnh đáy là $a(\mathrm{~cm}),(a>0, h>0)$.
Theo bài ra ta có: $V=a^2 . h \Leftrightarrow 4=a^2 . h \Rightarrow h=\dfrac{4}{a^2}$.
Tổng diện tích các bề mặt của hộp được mạ vàng là: $S=a^2+4 \cdot a \cdot h=a^2+4 \cdot a \cdot \dfrac{4}{a^2}=a^2+\dfrac{16}{a}=$ $a^2+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{a}\left(\mathrm{~cm}^2\right)$
Để lượng vàng dùng mạ là ít nhất thì diện tích $S$ là nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương $a^2, \dfrac{8}{a}, \dfrac{8}{a}$ ta được:
$S=a^2+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{a} \geq 3 \sqrt[3]{a^2 \cdot \dfrac{8}{a} \cdot \dfrac{8}{a}}=12$
$\Rightarrow S_{\min }=12 \Leftrightarrow a^2=\dfrac{8}{a} \Leftrightarrow a=2(\mathrm{~cm})$.Suy ra: $h=\dfrac{4}{2^2}=1(\mathrm{~cm})$.
Vậy kích thước hộp thỏa yêu cầu đề bài là: cạnh đáy bằng $2 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $1 \mathrm{~cm}$.
A. Cạnh đáy bằng $4 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $1 \mathrm{~cm}$.
B. Cạnh đáy bằng $1 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $2 \mathrm{~cm}$.
C. Cạnh đáy bằng $1 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $4 \mathrm{~cm}$.
D. Cạnh đáy bằng $2 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $1 \mathrm{~cm}$.
Theo bài ra ta có: $V=a^2 . h \Leftrightarrow 4=a^2 . h \Rightarrow h=\dfrac{4}{a^2}$.
Tổng diện tích các bề mặt của hộp được mạ vàng là: $S=a^2+4 \cdot a \cdot h=a^2+4 \cdot a \cdot \dfrac{4}{a^2}=a^2+\dfrac{16}{a}=$ $a^2+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{a}\left(\mathrm{~cm}^2\right)$
Để lượng vàng dùng mạ là ít nhất thì diện tích $S$ là nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương $a^2, \dfrac{8}{a}, \dfrac{8}{a}$ ta được:
$S=a^2+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{a} \geq 3 \sqrt[3]{a^2 \cdot \dfrac{8}{a} \cdot \dfrac{8}{a}}=12$
$\Rightarrow S_{\min }=12 \Leftrightarrow a^2=\dfrac{8}{a} \Leftrightarrow a=2(\mathrm{~cm})$.Suy ra: $h=\dfrac{4}{2^2}=1(\mathrm{~cm})$.
Vậy kích thước hộp thỏa yêu cầu đề bài là: cạnh đáy bằng $2 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $1 \mathrm{~cm}$.
Đáp án D.