Một kiến trúc sư muốn thiết kế một mô hình kim tự tháp Ai Cập có...

Mặt cầu nội tiếp hình chóp đều $\Rightarrow $ Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp.
Gọi $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu, $O$ là giao điểm 2 đường chéo.
$\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Kẻ $OH\bot SM$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Kẻ $IP\text{//}OH\Rightarrow IP=R$ ( với $R$ là bán kính mặt cầu nội tiếp)
Theo định lí Talet: $\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{IP}{OH}\Leftrightarrow \dfrac{h-6}{h}=\dfrac{6}{OH}\Leftrightarrow OH=\dfrac{6h}{h-6}$ ; $SO=h$ ; $OM=\dfrac{a}{2}$.
Ta có: $OH=\dfrac{SO.OM}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{6h}{h-6}=\dfrac{ah}{2\sqrt{{{h}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow a\left( h-6 \right)=12\sqrt{{{h}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}} \\
& \Leftrightarrow {{a}^{2}}\left( {{h}^{2}}-12h+36 \right)=144\left( {{h}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4} \right) \\
& \Leftrightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{144{{h}^{2}}}{{{h}^{2}}-12h}=\dfrac{144h}{h-12} \\
\end{aligned}$
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}S.h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{144h}{h-12}.h$.
Xét: $f\left( h \right)=\dfrac{{{h}^{2}}}{h-12}\Rightarrow f'\left( h \right)=\dfrac{h\left( h-24 \right)}{{{\left( h-12 \right)}^{2}}}$
$f'\left( h \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=0\left( l \right) \\
& h=24\left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào BTT ${{V}_{\min }}$ đạt tại $h=24.$