Google
Câu hỏi: Một người thợ thiết kế một chiếc khung bằng sắt dạng hình lăng trụ tam giác đều $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có tất cả các cạnh bằng $1 \mathrm{~m}$ và có thêm các thanh nối $A^{\prime} B ; B^{\prime} C ; A C^{\prime}$ (như hình vẽ bên). Người thợ muốn khung thêm chắc chắn nên hàn thêm thanh nối $A^{\prime} B$ với $B^{\prime} C, B^{\prime} C$ với $A C^{\prime}, A C^{\prime}$ với $A^{\prime} B$. Độ dài thanh nối $A^{\prime} B$ với $B^{\prime} C$ ngắn nhất bằng
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{10} \mathrm{~m}$.
B. $\dfrac{1}{2} \mathrm{~m}$.
C. $\dfrac{1}{3} \mathrm{~m}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5} \mathrm{~m}$.
Lấy $M, N$ lần lượt thuộc $A^{\prime} B, B^{\prime} C . M N$ nhỏ nhất khi $M N=d\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)$.
Bài toán quy về tìm $d\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)$.
Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime} C^{\prime}, B^{\prime} C$ thì $A^{\prime} B / / E F \Rightarrow A^{\prime} B / /\left(B^{\prime} C E\right)$.
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow d\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)=d\left(A^{\prime} B,\left(B^{\prime} C E\right)\right)=d\left(A^{\prime},\left(B^{\prime} C E\right)\right) . \\
& \text { Có }\left\{\begin{array}{l}
B^{\prime} E \perp C^{\prime} E \\
B^{\prime} E \perp C C^{\prime}
\end{array} \Rightarrow B^{\prime} E \perp\left(C C^{\prime} E\right) .\right.
\end{aligned}
$
Trong mặt phẳng $\left(C C^{\prime} E\right)$ vẽ $C^{\prime} H \perp C E$ tại $H$, có $C^{\prime} H \perp B^{\prime} E \Rightarrow C^{\prime} H \perp\left(B^{\prime} C E\right)$.
$\Delta C C^{\prime} E$ vuông tại $C^{\prime}$ có $C^{\prime} H . C E=C^{\prime} E . C C^{\prime} \Rightarrow C^{\prime} H=\dfrac{C^{\prime} E . C C^{\prime}}{C E}$.
Có $C^{\prime} E=\dfrac{1}{2}, C C^{\prime}=1, C E=\sqrt{C C^{\prime 2}+C^{\prime} E^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow C^{\prime} H=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(\mathrm{~m})$.
Có $A^{\prime} C^{\prime}$ cắt $\left(B^{\prime} C E\right)$ tại $E$ và $E$ là trung điểm $A^{\prime} C^{\prime}$
$
\Rightarrow d\left(A^{\prime},\left(B^{\prime} C E\right)\right)=d\left(C^{\prime},\left(B^{\prime} C E\right)\right)=C^{\prime} H=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(\mathrm{~m}) \text {. }
$
Vậy $M N$ nhỏ nhất khi $M N=d\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(\mathrm{~m})$.
B. $\dfrac{1}{2} \mathrm{~m}$.
C. $\dfrac{1}{3} \mathrm{~m}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5} \mathrm{~m}$.
Bài toán quy về tìm $d\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)$.
Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime} C^{\prime}, B^{\prime} C$ thì $A^{\prime} B / / E F \Rightarrow A^{\prime} B / /\left(B^{\prime} C E\right)$.
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow d\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)=d\left(A^{\prime} B,\left(B^{\prime} C E\right)\right)=d\left(A^{\prime},\left(B^{\prime} C E\right)\right) . \\
& \text { Có }\left\{\begin{array}{l}
B^{\prime} E \perp C^{\prime} E \\
B^{\prime} E \perp C C^{\prime}
\end{array} \Rightarrow B^{\prime} E \perp\left(C C^{\prime} E\right) .\right.
\end{aligned}
$
Trong mặt phẳng $\left(C C^{\prime} E\right)$ vẽ $C^{\prime} H \perp C E$ tại $H$, có $C^{\prime} H \perp B^{\prime} E \Rightarrow C^{\prime} H \perp\left(B^{\prime} C E\right)$.
$\Delta C C^{\prime} E$ vuông tại $C^{\prime}$ có $C^{\prime} H . C E=C^{\prime} E . C C^{\prime} \Rightarrow C^{\prime} H=\dfrac{C^{\prime} E . C C^{\prime}}{C E}$.
Có $C^{\prime} E=\dfrac{1}{2}, C C^{\prime}=1, C E=\sqrt{C C^{\prime 2}+C^{\prime} E^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \Rightarrow C^{\prime} H=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(\mathrm{~m})$.
Có $A^{\prime} C^{\prime}$ cắt $\left(B^{\prime} C E\right)$ tại $E$ và $E$ là trung điểm $A^{\prime} C^{\prime}$
$
\Rightarrow d\left(A^{\prime},\left(B^{\prime} C E\right)\right)=d\left(C^{\prime},\left(B^{\prime} C E\right)\right)=C^{\prime} H=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(\mathrm{~m}) \text {. }
$
Vậy $M N$ nhỏ nhất khi $M N=d\left(A^{\prime} B, B^{\prime} C\right)=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(\mathrm{~m})$.
Đáp án D.