Lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản

Câu hỏi: 1. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình \(\sin x = a\)
+) Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì phương trình \(\sin x = a\) có các nghiệm \(x = \arcsin a + k2\pi \) và\(x = \pi  - \arcsin a + k2\pi \)
Đặc biệt:
+) \(\sin x = \sin \alpha \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
+) \(\sin x = \sin {\beta ^0}\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \beta ^0 + k{360^0}\\x = {180^0} - \beta  ^0+ k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
b) Phương trình \(\cos x = a\)
+) Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì phương trình \(\cos x = a\) có các nghiệm \(x = \arccos a + k2\pi \) và  \(x =  - \arccos a + k2\pi \)
Đặc biệt:
+) \(\cos x = \cos \alpha \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
+) \(\cos x = \cos {\beta ^0}\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \beta ^0 + k{360^0}\\x =  - \beta ^0 + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
c) Phương trình \(\tan x = a\)
Phương trình luôn có nghiệm \(x = \arctan a + k\pi \).
Đặc biệt:
+) \(\tan x = \tan \alpha \) \(\Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
+) \(\tan x = \tan {\beta ^0}\) \(\Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0}\)
d) Phương trình \(\cot x = a\)
Phương trình luôn có nghiệm \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \).
Đặc biệt:
+) \(\cot x = \cot \alpha \) \(\Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
+) \(\cot x = \cot {\beta ^0}\) \(\Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0}, k \in Z\)
e) Các trường hợp đặc biệt
\(+)\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\) \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
\(+)\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\) \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \)
\(+)\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\)  \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \)
2. Một số chú ý khi giải phương trình.
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \(\tan ,\cot \), chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.