Google
Câu hỏi: Hai quả cầu nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là 1 kg và 0,1 kg được nối với nhau bởi sợi dây mảnh nhẹ dài 10 cm, hai quả cầu được treo vào lò xo có độ cứng k = 10 N/m tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Khi hệ vật đang đứng yên ở vị trí cân bằng và quả cầu B ở độ cao 5 m so với mặt sàn nằm ngang, người ta đốt sợi dây nối hai quả cầu. Quả cầu B rơi xuống và sau mỗi va chạm với mặt sàn cơ năng của quả cầu B mất đi 19% so với trước lúc va chạm. Quỹ đạo của A và B luôn thẳng đứng. Lấy π2 = 10, bỏ qua mọi lực cản. Khi quả cầu B dừng lại thì khoảng cách giữa hai quả cầu bằng
A. 5,30 m.
B. 5,10 m.
C. 5,25 m.
D. 5,20 m.
A. 5,30 m.
B. 5,10 m.
C. 5,25 m.
D. 5,20 m.
Chọn gốc tọa độ tại mặt sàn, chiều dương hướng lên
Xét vật A: Khi đốt dây thì vtcb dịch lên một đoạn đúng bằng biên độ
$\begin{aligned} & \mathrm{A}=\dfrac{m_B g}{k}=\dfrac{0,1 \cdot 10}{10}=0,1 \mathrm{~m} \text { và } \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m_A}}=\sqrt{10} \approx \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) \\ & \mathrm{xA}=\mathrm{h}+1+\mathrm{A}+\mathrm{A} \cos (\omega \mathrm{t}+\varphi)=5+0,1+0,1 \cos (\pi \mathrm{t}+\pi)=5,2+0,1 \cos (\pi \mathrm{t}+\pi)\end{aligned}$
Xét vật B: Sau mỗi lần va chạm sàn thì cơ năng còn lại 1 – 0,19 = 0,81 lần cơ năng trước đó
Mà W = mgh W ~ h nên sau mỗi lần va chạm sàn thì độ cao bằng 0,8l lần độ cao trước đó
Thời gian vật B từ khi chạm sàn lần 1 đến lần 2 là: $\mathrm{t}_1=2 \sqrt{\dfrac{2 h \cdot 0,81}{g}}=2 \cdot 0,9$
Thời gian vật B từ khi chạm sàn lần x đến lần x + 1 là: $\mathrm{t}_{\mathrm{x}}=2 \sqrt{\dfrac{2 h .0,81^x}{g}}=2.0,9^{\mathrm{x}}$
→ Tổng thời gian $\Delta \mathrm{t}=1+2 \sum_{x=1}^{\infty}\left(0,9^x\right)$ casio thay ∞ ≈ 300 ∆t = 19s
Vậy d = xA = 5,2 + 0,1cos(π.19 + π) = 5,3 m.
Chú ý: Nếu không biết casio hoặc công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $\mathrm{S}=\sum_{x=1}^{\infty}\left(0,9^x\right)$ thì ta chứng minh lại như sau S = 0,9 = 0,92 + … + 0,9x 0,9 S = 0,92 + 0,93 + … + 0,9x+1
S – 0,9S = 0,9 + 0,9x $S=\dfrac{0,9+0,9^x-0,9^{x+1}}{1-0,9}$
Với x → +∞ thì $\mathrm{S}=\lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{0,9+0,9^x-0,9^{x+1}}{1-0,9}=\dfrac{0,9}{1-0,9}=9$
Xét vật A: Khi đốt dây thì vtcb dịch lên một đoạn đúng bằng biên độ
$\begin{aligned} & \mathrm{A}=\dfrac{m_B g}{k}=\dfrac{0,1 \cdot 10}{10}=0,1 \mathrm{~m} \text { và } \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m_A}}=\sqrt{10} \approx \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) \\ & \mathrm{xA}=\mathrm{h}+1+\mathrm{A}+\mathrm{A} \cos (\omega \mathrm{t}+\varphi)=5+0,1+0,1 \cos (\pi \mathrm{t}+\pi)=5,2+0,1 \cos (\pi \mathrm{t}+\pi)\end{aligned}$
Xét vật B: Sau mỗi lần va chạm sàn thì cơ năng còn lại 1 – 0,19 = 0,81 lần cơ năng trước đó
Mà W = mgh W ~ h nên sau mỗi lần va chạm sàn thì độ cao bằng 0,8l lần độ cao trước đó
Thời gian vật B từ khi chạm sàn lần 1 đến lần 2 là: $\mathrm{t}_1=2 \sqrt{\dfrac{2 h \cdot 0,81}{g}}=2 \cdot 0,9$
Thời gian vật B từ khi chạm sàn lần x đến lần x + 1 là: $\mathrm{t}_{\mathrm{x}}=2 \sqrt{\dfrac{2 h .0,81^x}{g}}=2.0,9^{\mathrm{x}}$
→ Tổng thời gian $\Delta \mathrm{t}=1+2 \sum_{x=1}^{\infty}\left(0,9^x\right)$ casio thay ∞ ≈ 300 ∆t = 19s
Vậy d = xA = 5,2 + 0,1cos(π.19 + π) = 5,3 m.
Chú ý: Nếu không biết casio hoặc công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $\mathrm{S}=\sum_{x=1}^{\infty}\left(0,9^x\right)$ thì ta chứng minh lại như sau S = 0,9 = 0,92 + … + 0,9x 0,9 S = 0,92 + 0,93 + … + 0,9x+1
S – 0,9S = 0,9 + 0,9x $S=\dfrac{0,9+0,9^x-0,9^{x+1}}{1-0,9}$
Với x → +∞ thì $\mathrm{S}=\lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{0,9+0,9^x-0,9^{x+1}}{1-0,9}=\dfrac{0,9}{1-0,9}=9$
Đáp án A.