Google
Câu hỏi: Gọi $y={{y}_{0}}$ và $x={{x}_{0}}$ là các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2{{x}^{2}}+5x+2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$, khi đó tổng ${{x}_{0}}+{{y}_{0}}$ bằng
A. $0$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $-\dfrac{5}{2}$.
D. $-4$.
A. $0$.
B. $\dfrac{5}{2}$.
C. $-\dfrac{5}{2}$.
D. $-4$.
Hàm số đã cho có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.
Ta có
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}\left( 2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{2}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}{1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}}}=2; \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}\left( 2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{2}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}{1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}}}=2;$ ; $\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+1}{x+2}=-\infty ; \underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+1}{x+2}=+\infty $.
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=2$, đường tiệm cận đứng là $x=-2$.
Khi đó ${{x}_{0}}+{{y}_{0}}=-2+2=0$.
Ta có
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}\left( 2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{2}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}{1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}}}=2; \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{{{x}^{2}}\left( 2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{2}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right)}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{2+\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}{1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}}}=2;$ ; $\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+1}{x+2}=-\infty ; \underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{2x+1}{x+2}=+\infty $.
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y=2$, đường tiệm cận đứng là $x=-2$.
Khi đó ${{x}_{0}}+{{y}_{0}}=-2+2=0$.
Đáp án A.
