Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực $m$...

Đặt $g\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-14{{x}^{2}}+48x+m-30$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)={{x}^{3}}-28x+48$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-6 \\
& x=2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Ta có $y=\left| g\left( x \right) \right|$ $\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left| g\left( x \right) \right|=\max \left\{ \left| m+14 \right|,\left| m-30 \right| \right\}$.
Trường hợp 1: Nếu $\left| m+14 \right|\ge \left| m-30 \right|\Leftrightarrow m\ge 8$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\left| m+14 \right|$ $\Rightarrow \left| m+14 \right|\le 30$ $\Leftrightarrow -30\le m+14\le 30$ $\Leftrightarrow -44\le m\le 16$.
Do đó $8\le m\le 16$.
Trường hợp 2: Nếu $\left| m+14 \right|\le \left| m-30 \right|\Leftrightarrow m\le 8$ thì $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} y=\left| m-30 \right|$ $\Rightarrow \left| m-30 \right|\le 30$ $\Leftrightarrow -30\le m-30\le 30$ $\Leftrightarrow 0\le m\le 60$.
Do đó $0\le m\le 8$.
Vậy $S=\left\{ 0;1;2;3;...;16 \right\}$. Suy ra tổng giá trị các phần tử của tập hợp $S$ bằng $136$.