Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn...

Ta có ${y}'=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}-m$
Hàm số $y=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-mx$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ :
$\Leftrightarrow {y}'=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}-m\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m\le \dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}$, ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-2{{x}^{2}}+2}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 & \left( n \right) \\
x=-1 & \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, $m\le \dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le 0$.