Gọi $M$ là tập hợp tất cả giá trị thực của tham số $m$ sao cho có...

Đặt $z=x+yi$ khi đó $\left| z-m \right|=3\Leftrightarrow \left| \left( x-m \right)+yi \right|=3$. Khi đó tập các số phức $z$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( m;0 \right)$ và ${{R}_{1}}=3$.
Ta có $z\left( \overline{z}-4 \right)={{\left| z \right|}^{2}}-4z=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x \right)-4yi$. Để $z\left( \overline{z}-4 \right)$ là số thuần ảo khi và chỉ khi ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x=0$. Khi đó tập hợp các số phức $z$ là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;0 \right)$ và ${{R}_{2}}=2$.
Ta có độ dài đường nối tâm là ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| m-2 \right|$.
Để có một số phức $z$ thỏa mãn $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right| \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left| m-2 \right|=5 \\
\left| m-2 \right|=1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=7 \\
m=-3 \\
m=3 \\
m=1 \\
\end{matrix} \right.$.