Có tất cả bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${{\log }_{7}}{{\left(...

Điều kiện: $x>1;x\ne 4$.
TH1: $x>4$
${{\log }_{7}}{{\left( \sqrt{x}-2 \right)}^{6}}\le 2{{\log }_{2}}\left( \sqrt{x}-1 \right)\Leftrightarrow 6{{\log }_{7}}\left( \sqrt{x}-2 \right)\le 2{{\log }_{2}}\left( \sqrt{x}-1 \right)\Leftrightarrow 3{{\log }_{7}}\left( \sqrt{x}-2 \right)\le {{\log }_{2}}\left( \sqrt{x}-1 \right)$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( \sqrt{x}-1 \right)\Rightarrow \sqrt{x}={{2}^{t}}+1$
Ta có bất phương trình mới là $3{{\log }_{7}}\left( {{2}^{t}}-1 \right)\le t\Leftrightarrow {{2}^{t}}-1\le {{7}^{\dfrac{t}{3}}}\Leftrightarrow {{2}^{t}}\le 1+{{\left( \sqrt[3]{7} \right)}^{t}}\Leftrightarrow 1\le \dfrac{1}{{{2}^{t}}}+{{\left( \dfrac{\sqrt[3]{7}}{2} \right)}^{t}}$
Ta có $f(t)=\dfrac{1}{{{2}^{t}}}+{{\left( \dfrac{\sqrt[3]{7}}{2} \right)}^{t}}$ nghịch biến trên tập $\mathbb{R}$.
Mà $f(3)=1\Rightarrow 1\le \dfrac{1}{{{2}^{t}}}+{{\left( \dfrac{\sqrt[3]{7}}{2} \right)}^{t}}\Leftrightarrow f(3)\le f(t)\Leftrightarrow 3\ge t\Rightarrow {{\log }_{2}}\left( \sqrt{x}-1 \right)\le 3\Leftrightarrow \sqrt{x}-1\le 8\Leftrightarrow x\le 81$
Do đó $x\in \left\{ 5;6;....;81 \right\}$
TH2: $1<x<4$
Vì $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=3;x=2$
Với $x=2$ thay vào bất phương trình không thỏa mãn.
Với $x=3$ thay vào bất phương trình thỏa mãn.
Vậy có 78 số nguyên thỏa mãn.