Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\left(...

Đặt $t=\dfrac{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}{x}$ $\left( t>0 do x>0 \right)$
Từ giả thiết $\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( tx+x \right)+{{\log }_{2}}\left( tx \right)+t-8\le {{\log }_{3}}x+{{\log }_{2}}\left( tx+24x \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+t-8\le {{\log }_{2}}\left( \dfrac{t+24}{t} \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+t-8-{{\log }_{2}}\left( \dfrac{t+24}{t} \right)\le 0$
Đặt$$ $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+t-8-{{\log }_{2}}\left( \dfrac{t+24}{t} \right)$, $t>0$
$f'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 3}+1-\dfrac{1}{\left( \dfrac{t+24}{t} \right)\ln 2}.\left( \dfrac{-24}{{{t}^{2}}} \right)>0 ,\forall t>0\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến.
Mà $f\left( t \right)\le f\left( 8 \right)=0\Rightarrow 0<t\le 8$
Với $y=0\Rightarrow t=x\Rightarrow x\in \left\{ 1;2;...8 \right\}$
Suy ra có 8 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.
Ta có $t\le 8\Rightarrow {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}\le 8x\Rightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}\le 16$
$4{{y}^{2}}\le 16\Leftrightarrow -2\le y\le 2$
Với $y=\pm 2\Rightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}\le 0\Rightarrow x=4$
Suy ra có 2 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.
Với $y=\pm 1\Rightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}\le 12\Rightarrow -2\sqrt{3}\le x-4\le 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow x\in \left\{ 1;2;...7 \right\}$
Suy ra có 14 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.
Vậy có tất cả $8+2+14=24$ cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.