Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x ; y)$ thoả mãn $\log...

Điều kiện $x>0.$
${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x \right)+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{5}}x+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x}{x} \right)\le {{\log }_{3}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x}+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( 1+\dfrac{8x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\le 0.$
Đặt $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x},\left( t>0 \right).$ ta được bất phương trình ${{\log }_{5}}\left( t+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( 1+\dfrac{8}{t} \right)\le 0.$
Xét hàm số
$f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( t+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( 1+\dfrac{8}{t} \right),\left( t>0 \right)\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 5}+\dfrac{8}{{{t}^{2}}\left( 1+\dfrac{8}{t} \right)\ln 3}>0,\left( t>0 \right).$
Ta có $f\left( 4 \right)=0\Rightarrow t\le 4$ hay ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4x\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{2}^{2}}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}\le {{2}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}\le {{2}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 0\le x\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<x\le 4.$
Với $x=1\Rightarrow y=-1,y=0,y=1$ nên có 3 cặp $\left( x;y \right)$ nguyên.
Với $x=2\Rightarrow y=-2,y=-1,y=0,y=1,y=2.$ nên có 5 cặp $\left( x;y \right)$ nguyên.
Với $x=3\Rightarrow y=-1,y=0,y=1$ nên có 3 cặp. $\left( x;y \right)$ nguyên.
Với $x=4\Rightarrow y=0$ nên có 1 cặp $\left( x;y \right)$ nguyên.
Vậy có $12$ cặp giá trị nguyên $\left( x;y \right)$.