Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-3i...

Đặt .
Có .
Để là số thuần ảo thì .
Lại có .
Giải hai hệ phương trình:
: $\left\{ \begin{aligned}
& a=b+2 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-6b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b+2 \\
& {{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left( b+2 \right)-6b-8=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b+2 \\
& 2{{b}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow z=2\left( 2 \right)\left\{ \begin{aligned}
& a=-b-2 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-6b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-b-2 \\
& {{\left( -b-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left( -b-2 \right)-6b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-b-2 \\
& 2{{b}^{2}}-4b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-b-2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& b=1+\sqrt{5} \\
& b=1-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-3-\sqrt{5} \\
& b=1+\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-3+\sqrt{5} \\
& b=1-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
; .
Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.