Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-3i...

The Professor · 28/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn

| z + 1 - 3 i | = 3 \sqrt{2}

và

{(z + 2 i)}^{2}

là số thuần ảo?
A.

3

.
B.

4

.
C.

1

.
D.

2

.

Đặt

z = a + b i

(a, b \in R)

.
Có

{(z + 2 i)}^{2} = {(a + b i + 2 i)}^{2}

= (a^{2} - b^{2} - 4 b - 4) + (4 a + 2 a b) i

.
Để

{(z + 2 i)}^{2}

là số thuần ảo thì

a^{2} - b^{2} - 4 b - 4 = 0 \Leftrightarrow a^{2} = {(b + 2)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{aligned} a = b + 2 \\ a = - b - 2 \end{aligned}

.
Lại có

| z + 1 - 3 i | = 3 \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{{(a + 1)}^{2} + {(b - 3)}^{2}} = 3 \sqrt{2}

\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 2 a - 6 b - 8 = 0

.
Giải hai hệ phương trình:

(1)

:

{\begin{aligned} a = b + 2 \\ a^{2} + b^{2} + 2 a - 6 b - 8 = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a = b + 2 \\ {(b + 2)}^{2} + b^{2} + 2 (b + 2) - 6 b - 8 = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a = b + 2 \\ 2 b^{2} = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 2 \\ b = 0 \end{aligned}

\Rightarrow z = 2

.

(2)

:

{\begin{aligned} a = - b - 2 \\ a^{2} + b^{2} + 2 a - 6 b - 8 = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a = - b - 2 \\ {(- b - 2)}^{2} + b^{2} + 2 (- b - 2) - 6 b - 8 = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a = - b - 2 \\ 2 b^{2} - 4 b - 8 = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a = - b - 2 \\ [\begin{aligned} b = 1 + \sqrt{5} \\ b = 1 - \sqrt{5} \end{aligned} \end{aligned}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} a = - 3 - \sqrt{5} \\ b = 1 + \sqrt{5} \end{aligned} \\ {\begin{aligned} a = - 3 + \sqrt{5} \\ b = 1 - \sqrt{5} \end{aligned} \end{aligned}

\Rightarrow z = - 3 - \sqrt{5} + (1 + \sqrt{5}) i

;

z = - 3 + \sqrt{5} + (1 - \sqrt{5}) i

.
Vậy có

3

số phức

z

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án A.

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z+1-3i...