Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-3i...

Đặt $z=a+bi$ $\left( a , b \in \mathbb{R} \right)$.
Có ${{\left( z+2i \right)}^{2}}={{\left( a+bi+2i \right)}^{2}}$ $=\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-4b-4 \right)+\left( 4a+2ab \right)i$.
Để ${{\left( z+2i \right)}^{2}}$ là số thuần ảo thì ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}-4b-4=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{\left( b+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b+2 \\
& a=-b-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Lại có $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}}=3\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-6b-8=0$.
Giải hai hệ phương trình:
$\left( 1 \right)$ : $\left\{ \begin{aligned}
& a=b+2 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-6b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b+2 \\
& {{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left( b+2 \right)-6b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=b+2 \\
& 2{{b}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow z=2$.
$\left( 2 \right)$ : $\left\{ \begin{aligned}
& a=-b-2 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a-6b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-b-2 \\
& {{\left( -b-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left( -b-2 \right)-6b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-b-2 \\
& 2{{b}^{2}}-4b-8=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-b-2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& b=1+\sqrt{5} \\
& b=1-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-3-\sqrt{5} \\
& b=1+\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-3+\sqrt{5} \\
& b=1-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow z=-3-\sqrt{5}+\left( 1+\sqrt{5} \right)i$ ; $z=-3+\sqrt{5}+\left( 1-\sqrt{5} \right)i$.
Vậy có $3$ số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.