Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\left( 2-x...

Điều kiện:$\left\{ \begin{aligned}
& 2-x>0 \\
& {{x}^{2}}-15>0 \\
& 4-4x+{{x}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x<2 \\
& x<-\sqrt{15}\vee \sqrt{15}<x \\
& x\ne 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x<-\sqrt{15}$.
Phương trình: ${{\log }_{3}}\left( 2-x \right).{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}-15 \right)<{{\log }_{7}}{{\left( 4-4x+{{x}^{2}} \right)}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2-x \right).{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}-15 \right)<6{{\log }_{7}}\left| 2-x \right|\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2-x \right).{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}-15 \right)<6{{\log }_{7}}\left( 2-x \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2-x \right).{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}-15 \right)-6{{\log }_{7}}3.{{\log }_{3}}\left( 2-x \right)<0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2-x \right)\left[ {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}-15 \right)-6{{\log }_{7}}3 \right]<0$ $\left( 1 \right)$
Xét: ${{\log }_{3}}\left( 2-x \right)=0\Leftrightarrow x=1$.
${{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}-15 \right)-6{{\log }_{7}}3=0\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}-15 \right)={{\log }_{7}}{{3}^{6}}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{744}$.
Bảng xét dấu vế trái của $\left( 1 \right)$
Tập nghiệm của bất phương trình là $-\sqrt{744}<x<-\sqrt{15}\Rightarrow $ có 24 giá trị nguyên.