Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left( 0;2023 \right)$ để phương...

Phương trình ${{\log }_{2}}\left( mx \right)=3{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& mx={{\left( x+1 \right)}^{3}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& m={{x}^{2}}+3x+3+\dfrac{1}{x}. \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}+3x+3+\dfrac{1}{x}$, ta có ${f}'\left( x \right)=2x+3-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=\dfrac{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}$.
Phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ (vì $x>0$ ).
Lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $m>\dfrac{27}{4}$.
Vậy $m\in \left\{ 7;8;\ldots ;2022 \right\}$ có $2016$ giá trị nguyên.