Có bao nhiêu số nguyên $x$ trong khoảng $\left( 0;2023 \right)$...

Điều kiện: $x>0$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( 2x+5 \right)\Rightarrow 2x+5={{3}^{t}}\Rightarrow x=\dfrac{{{3}^{t}}-5}{2}$.
Khi đó ${{\log }_{2}}x+1={{\log }_{2}}\dfrac{{{3}^{t}}-5}{2}+1={{\log }_{2}}\left( {{3}^{t}}-5 \right)$.
Bất phương trình đã cho thành $t<{{\log }_{2}}\left( {{3}^{t}}-5 \right)\Leftrightarrow {{2}^{t}}<{{3}^{t}}-5\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}+5{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}<1 (*)$.
Đặt $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}+5{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}$. Khi đó $ (*)\Leftrightarrow f\left( t \right)<f\left( 2 \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}\ln \dfrac{2}{3}+5{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{3}<0, \forall t$.
Do đó hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến.
Từ đó suy ra $t>2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x+5 \right)>2\Leftrightarrow x>2$.
Vì số nguyên $x$ trong khoảng $\left( 0;2023 \right)$ nên $x\in \left\{ 3;4;....;2022 \right\}$.
Vậy có $2020$ số thỏa đề bài.