Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ để phương trình ${{4}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}-m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x+2}}+3m-2=0$ có bốn nghiệm phân biệt?
A. $2018$.
B. $2022$.
C. $2020$.
D. $2016$.
A. $2018$.
B. $2022$.
C. $2020$.
D. $2016$.
Đặt $t={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}, \left( t\ge 1 \right)$ phương trình trở thành: $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2mt+3m-2=0, \left( 1 \right)$.
Với $t=1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=1$ có duy nhất một nghiệm $x$.
Với $t>1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}t\Leftrightarrow x=1\pm \sqrt{{{\log }_{2}}t}$ có hai nghiệm $x$.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $1<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& S>2 \\
& 1.f\left( 1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-3m+2>0 \\
& 2m>2 \\
& 1-2m+3m-2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Vậy các số nguyên cần tìm là $m\in \left\{ 3,4,...,2020 \right\}$. Vậy có $2018$ giá trị thỏa mãn.
Với $t=1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=1$ có duy nhất một nghiệm $x$.
Với $t>1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}t\Leftrightarrow x=1\pm \sqrt{{{\log }_{2}}t}$ có hai nghiệm $x$.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $1<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& S>2 \\
& 1.f\left( 1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-3m+2>0 \\
& 2m>2 \\
& 1-2m+3m-2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Vậy các số nguyên cần tìm là $m\in \left\{ 3,4,...,2020 \right\}$. Vậy có $2018$ giá trị thỏa mãn.
Đáp án A.