Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất $8$ số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ thỏa mãn ${{5}^{2{{a}^{2}}+b}}\le {{3}^{b-a}}+624$ ?
A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $7$.
A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $7$.
Chia cả hai vế cho ${{5}^{b}}$, ta được
$\dfrac{1}{{{3}^{a}}}{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{b}}+624{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}-{{5}^{2{{a}^{2}}}}\ge 0.$
Đặt $f\left( b \right)=\dfrac{1}{{{3}^{a}}}{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{b}}+624{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}-{{5}^{{{a}^{2}}}}$, với $b\in \left[ -9;9 \right]$. Ta có${f}'\left( b \right)=\dfrac{1}{{{3}^{a}}}{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{b}}\ln \dfrac{3}{5}+624{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}\ln \dfrac{1}{5}<0,\forall b\in \left[ -9;9 \right].$
Do đó ${ f\left(b \right)}$ nghịch biến trên $\left[ -9;9 \right]$. Điều này dẫn đến yêu cầu bài toán trở thành$f\left( -1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{5}^{2{{a}^{2}}-1}}\le {{3}^{-a-1}}+624.$
Nếu $a\le -2$ thì $2{{a}^{2}}-1\ge -a-1+6$. Suy ra${{5}^{2{{a}^{2}}-1}}\ge {{5}^{-a-1}}\cdot {{5}^{6}}>{{3}^{-a-1}}+{{3}^{-a-1}}\left( {{5}^{6}}-1 \right)>{{3}^{a-1}}+624.$
Nếu $a\ge -1$ thì do thì ${{3}^{-a-1}}\le 1$ và ${a \in \mathbb{Z} }$ nên${{5}^{2{{a}^{2}}-1}}\le 625\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-1\le 4\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\le a\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}\Rightarrow a\in \left\{ -1;0;1 \right\}.$
Thử lại tất cả $3$ giá trị nguyên trên đều thỏa mãn yêu cầu.Đáp án A.
