Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít...

Chia cả hai vế cho ${{5}^{b}}$, ta được
${{3}^{a}}{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{b}}+598{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}-{{5}^{{{a}^{2}}-2a-3}}\ge 0.$
Đặt $f\left( b \right)={{3}^{a}}{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{b}}+598{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}-{{5}^{{{a}^{2}}-2a-3}}$, với $b\in \left[ -9;9 \right]$. Ta có
${f}'\left( b \right)={{3}^{a}}{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{b}}\ln \dfrac{3}{5}+598{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{b}}\ln \dfrac{1}{5}<0,\forall b\in \left[ -9;9 \right].$
Do đó ${ f\left(b \right)}$ nghịch biến trên $\left[ -9;9 \right]$. Điều này dẫn đến yêu cầu bài toán trở thành
$f\left( -1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{5}^{{{a}^{2}}-2a-4}}\le {{3}^{a-1}}+598.$
Nếu $a>4$ thì ${{a}^{2}}-2a-4>a-1+1$. Suy ra
${{5}^{{{a}^{2}}-2a-4}}>{{5}^{a-1}}\cdot 5={{3}^{a-1}}{{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{a-1}}\cdot 5>{{3}^{a-1}}\cdot \dfrac{625}{27}={{3}^{a-1}}+{{3}^{a-1}}\cdot \dfrac{598}{27}>{{3}^{a-1}}+598.$
Nếu $a\le 4$ thì do thì ${{3}^{a-1}}\le 27$ và ${a \in \mathbb{Z} }$ nên
${{5}^{{{a}^{2}}-2a-4}}\le 625\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a-4\le 4\Leftrightarrow -2\le a\le 4\Rightarrow a\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3;4 \right\}.$
Thử lại, ta thấy được $6$ giá trị $-1;0;1;2;3;4$ thỏa mãn yêu cầu.