Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a<11$ sao cho ứng với mỗi $a$ tồn tại ít nhất $6$ số nguyên $b\in \left( 0;8 \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left[ \left( b+7 \right)\left( a-3 \right) \right]+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)\ge 7.$
A. $5.$
B. $4.$
C. $6.$
D. $7.$
A. $5.$
B. $4.$
C. $6.$
D. $7.$
Ta có ${{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left[ \left( b+7 \right)\left( a-3 \right) \right]+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)\ge 7$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left( b+7 \right)+{{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7\ge 0.$
Xét hàm $f\left( b \right)={{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left( b+7 \right)+{{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7$ trên $\left( 0;8 \right)$
có $f'\left( b \right)=\dfrac{2b}{\left( {{b}^{2}}+12 \right)\ln 4}+\dfrac{1}{\left( b+7 \right)\ln 3}>0, \forall b\in \left( 0;8 \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 0;8 \right)$
Suy ra $f\left( 1 \right)<f\left( 2 \right)<...<f\left( 7 \right)$, do đó để có ít nhất 6 số nguyên $b\in \left( 0;8 \right)$ ta cần $f\left( 2 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-3\ge 0 \left( 1 \right)$
Xét hàm $g\left( a \right)={{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-3$ trên $\left( 3; 11 \right)$ có $g'\left( a \right)=\dfrac{1}{\left( a-3 \right)\ln 3}+\dfrac{1}{\left( a+19 \right)\ln 5}>0, \forall a\in \left( 3; 11 \right)$ suy ra hàm $g\left( a \right)$ đồng biến trên $\left( 3; 11 \right)$
và có $g\left( 6 \right)=0$, mặt khác $\left( 1 \right)\Leftrightarrow g\left( a \right)\ge g\left( 6 \right)\Leftrightarrow a\ge 6$, do đó $a\in \left\{ 6,7,8,9,10 \right\}$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left( b+7 \right)+{{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7\ge 0.$
Xét hàm $f\left( b \right)={{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left( b+7 \right)+{{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7$ trên $\left( 0;8 \right)$
có $f'\left( b \right)=\dfrac{2b}{\left( {{b}^{2}}+12 \right)\ln 4}+\dfrac{1}{\left( b+7 \right)\ln 3}>0, \forall b\in \left( 0;8 \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 0;8 \right)$
Suy ra $f\left( 1 \right)<f\left( 2 \right)<...<f\left( 7 \right)$, do đó để có ít nhất 6 số nguyên $b\in \left( 0;8 \right)$ ta cần $f\left( 2 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-3\ge 0 \left( 1 \right)$
Xét hàm $g\left( a \right)={{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-3$ trên $\left( 3; 11 \right)$ có $g'\left( a \right)=\dfrac{1}{\left( a-3 \right)\ln 3}+\dfrac{1}{\left( a+19 \right)\ln 5}>0, \forall a\in \left( 3; 11 \right)$ suy ra hàm $g\left( a \right)$ đồng biến trên $\left( 3; 11 \right)$
và có $g\left( 6 \right)=0$, mặt khác $\left( 1 \right)\Leftrightarrow g\left( a \right)\ge g\left( 6 \right)\Leftrightarrow a\ge 6$, do đó $a\in \left\{ 6,7,8,9,10 \right\}$.
Đáp án A.
