Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất $7$ số nguyên $b\in \left( 0;10 \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{5}}\left( {{b}^{2}}+16 \right)+{{\log }_{3}}\left( b\sqrt{13-a } \right)-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)\ge 5$ ?
A. $9$.
B. $8$.
C. $11$.
D. $1$.
A. $9$.
B. $8$.
C. $11$.
D. $1$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& b>0 \\
& 3<a<13 \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ {{\log }_{5}}\left( {{b}^{2}}+16 \right)+{{\log }_{3}}\left( b\sqrt{13-a } \right)-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)\ge 5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{b}^{2}}+16 \right)+{{\log }_{3}}b+{{\log }_{3}}\sqrt{13-a }-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)-5\ge 0$
Đặt $f\left( b \right)={{\log }_{5}}\left( {{b}^{2}}+16 \right)+{{\log }_{3}}b+{{\log }_{3}}\sqrt{13-a }-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)-5$, điều kiện $b>0$
Bất phương trình trở thành $f\left( b \right)\ge 0$
${f}'\left( b \right)=\dfrac{2b}{\left( {{b}^{2}}+16 \right)\ln 5}+\dfrac{1}{b\ln 3}$ do $b>0$ nên ${f}'\left( b \right)>0$ $\Rightarrow $ Hàm số $f\left( b \right)$ đồng biến trên $\left( 0;10 \right)$ suy ra $f\left( 1 \right)<f\left( 2 \right)<f\left( 3 \right)<...<f\left( 9 \right)$.
Do đó để có ít nhất $7$ giá trị $b$ nguyên thuộc $\left( 0;10 \right)$ thì $f\left( 3 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\sqrt{13-a }-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)-2\ge 0 \left( * \right)$.
Đặt $g\left( a \right)={{\log }_{3}}\sqrt{13-a }-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)-2, a\in \left( 3;13 \right)$.
Bất phương trình $\left( * \right)$ trở thành $g\left( a \right)\ge 0$.
${g}'\left( a \right)=\dfrac{-1}{2\left( 13-a \right)\ln 3}-\dfrac{1}{\left( a-3 \right)\ln 7}<0, \forall a\in \left( 3;13 \right)$ nên hàm số $g\left( a \right)$ nghịch biến trên $\left( 3;13 \right)$.
Mặt khác $g\left( 4 \right)=0$ bất phương trình $\left( * \right)$ trở thành $g\left( a \right)\ge g\left( 4 \right)$, $g\left( a \right)$ nghịch biến nên $a\le 4$ mà $a\in \left( 3;13 \right)$, $a$ nguyên nên $a=4$.
Vậy có duy nhất một giá trị nguyên $a=4$ thỏa mãn bài toán.
& b>0 \\
& 3<a<13 \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ {{\log }_{5}}\left( {{b}^{2}}+16 \right)+{{\log }_{3}}\left( b\sqrt{13-a } \right)-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)\ge 5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{b}^{2}}+16 \right)+{{\log }_{3}}b+{{\log }_{3}}\sqrt{13-a }-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)-5\ge 0$
Đặt $f\left( b \right)={{\log }_{5}}\left( {{b}^{2}}+16 \right)+{{\log }_{3}}b+{{\log }_{3}}\sqrt{13-a }-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)-5$, điều kiện $b>0$
Bất phương trình trở thành $f\left( b \right)\ge 0$
${f}'\left( b \right)=\dfrac{2b}{\left( {{b}^{2}}+16 \right)\ln 5}+\dfrac{1}{b\ln 3}$ do $b>0$ nên ${f}'\left( b \right)>0$ $\Rightarrow $ Hàm số $f\left( b \right)$ đồng biến trên $\left( 0;10 \right)$ suy ra $f\left( 1 \right)<f\left( 2 \right)<f\left( 3 \right)<...<f\left( 9 \right)$.
Do đó để có ít nhất $7$ giá trị $b$ nguyên thuộc $\left( 0;10 \right)$ thì $f\left( 3 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\sqrt{13-a }-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)-2\ge 0 \left( * \right)$.
Đặt $g\left( a \right)={{\log }_{3}}\sqrt{13-a }-{{\log }_{7}}\left( a-3 \right)-2, a\in \left( 3;13 \right)$.
Bất phương trình $\left( * \right)$ trở thành $g\left( a \right)\ge 0$.
${g}'\left( a \right)=\dfrac{-1}{2\left( 13-a \right)\ln 3}-\dfrac{1}{\left( a-3 \right)\ln 7}<0, \forall a\in \left( 3;13 \right)$ nên hàm số $g\left( a \right)$ nghịch biến trên $\left( 3;13 \right)$.
Mặt khác $g\left( 4 \right)=0$ bất phương trình $\left( * \right)$ trở thành $g\left( a \right)\ge g\left( 4 \right)$, $g\left( a \right)$ nghịch biến nên $a\le 4$ mà $a\in \left( 3;13 \right)$, $a$ nguyên nên $a=4$.
Vậy có duy nhất một giá trị nguyên $a=4$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.