Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $\underset{\left[...

Xét hàm $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$.
Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
+ TH1: $m-4>0\Leftrightarrow m>4$ thì $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=m$.
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|\le 3\Leftrightarrow m\le 3$ (Loại).
+ TH2: $m<0\Leftrightarrow m<0$ thì $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=4-m$.
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|\le 3\Leftrightarrow 4-m\le 3\Leftrightarrow m\ge 1$ (Loại).
+ TH3: $\left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& m-4\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& m\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 4 $ thì $ \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=\max \left\{ 4-m;m \right\}$.
Khi đó $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|\le 3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& 4-m\le 3 \\
& 4-m\ge m \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le 3 \\
& m\ge 4-m \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1\le m\le 2 \\
& 2\le m\le 3 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp điều kiện và $m\in \mathbb{Z}$ ta suy ra có $3$ giá trị nguyên tham số $m$ là $m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.