Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để bất phương trình $\left| \dfrac{3{{\ln }^{2}}x+2\ln x+24}{{{\ln }^{2}}x-(m+1)\ln x+4} \right|\ge 2$ nghiệm đúng với mọi $x>0$ ?
A. $9$.
B. $8$.
C. $5$.
D. $7$.
A. $9$.
B. $8$.
C. $5$.
D. $7$.
Đặt $t=\ln x$, $t\in \mathbb{R}$. Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị nguyên của $m$ để bất phương trình $\left| \dfrac{3{{t}^{2}}+2t+24}{{{t}^{2}}-(m+1)t+4} \right|\ge 2$ (*) nghiệm đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$.
Để (*) nghiệm đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$, trước hết phương trình ${{t}^{2}}-(m+1)t+4=0$ phải vô nghiệm, tức là
Ta lại có $3{{t}^{2}}+2t+24>0,\forall t\in \mathbb{R}$. Do đó
$\left| \dfrac{3{{t}^{2}}+2t+24}{{{t}^{2}}-(m+1)t+4} \right|\ge 2\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+2t+24\ge 2\left[ {{t}^{2}}-(m+1)t+4 \right]\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2(m+2)t+16\ge 0.$ (2)
Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$ khi
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên các giá trị $m$ cần tìm là $m\in \{-4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2\}$.
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Để (*) nghiệm đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$, trước hết phương trình ${{t}^{2}}-(m+1)t+4=0$ phải vô nghiệm, tức là
$\Delta ={{(m+1)}^{2}}-16<0\Leftrightarrow -5<m<3$. (1)
Với $-5<m<3$ thì ${{t}^{2}}-(m+1)t+4>0,\forall t\in \mathbb{R}$.Ta lại có $3{{t}^{2}}+2t+24>0,\forall t\in \mathbb{R}$. Do đó
$\left| \dfrac{3{{t}^{2}}+2t+24}{{{t}^{2}}-(m+1)t+4} \right|\ge 2\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+2t+24\ge 2\left[ {{t}^{2}}-(m+1)t+4 \right]\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2(m+2)t+16\ge 0.$ (2)
Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$ khi
$\Delta \prime ={{(m+2)}^{2}}-16\le 0\Leftrightarrow -6\le m\le 2$. (3)
Kết hợp (1) và (3) ta được $-5<m\le 2$.Do $m\in \mathbb{Z}$ nên các giá trị $m$ cần tìm là $m\in \{-4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2\}$.
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.
