Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số tự nhiên $(x ; y)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $\log _2(x+2 y) \leq$ $\log _3(2 x+4 y+1)$ và $\log _3(x+y) \geq y-2$.
A. 7.
B. 6 .
C. 10 .
D. 8 .
A. 7.
B. 6 .
C. 10 .
D. 8 .
Điều kiện: $x+y>0, x+2 y>0$
Đặt $a=\log _2(x+2 y) \Leftrightarrow 2^a=x+2 y$ (1)
do $x+2 y>0$ mà $x ; y \in \mathbb{N}$ nên $x+2 y \geq 1 \Rightarrow a \geq 0$
Từ $\log _2(x+2 y) \leq \log _3(2 x+4 y+1)$ ta có $a \leq \log _3(2 x+4 y+1) \Leftrightarrow 3^a \leq 2(x+2 y)+1 \Leftrightarrow$ $3^a \leq 2^{a+1}+1$
$3^a \leq 2^{a+1}+1 \Leftrightarrow 2 \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^a+\left(\dfrac{1}{3}\right)^a \geq 1$
Xét hàm số $f(a)=2 \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^a+\left(\dfrac{1}{3}\right)^a$ với $a \geq 0$ là hàm số nghịch biến trên $[a ;+\infty)$ mà $f(2)=1$ $\Rightarrow f(a) \geq 1 \Leftrightarrow 0 \leq a \leq 2$
Kết hợp nên $1 \leq x+2 y \leq 2^2 \Rightarrow 0 \leq y \leq 2 ; 0 \leq x \leq 4$ mà $x ; y \in \mathbb{N}$ sao cho $\log _3(x+y) \geq y-2$ và
$1 \leq x+2 y \leq 4$
Vậy ta có các cặp số cần tìm là $(0 ; 1) ;(0 ; 2) ;(1 ; 0) ;(1 ; 1) ;(2 ; 0) ;(2 ; 1) ;(3 ; 0) ;(4 ; 0)$.
Đặt $a=\log _2(x+2 y) \Leftrightarrow 2^a=x+2 y$ (1)
do $x+2 y>0$ mà $x ; y \in \mathbb{N}$ nên $x+2 y \geq 1 \Rightarrow a \geq 0$
Từ $\log _2(x+2 y) \leq \log _3(2 x+4 y+1)$ ta có $a \leq \log _3(2 x+4 y+1) \Leftrightarrow 3^a \leq 2(x+2 y)+1 \Leftrightarrow$ $3^a \leq 2^{a+1}+1$
$3^a \leq 2^{a+1}+1 \Leftrightarrow 2 \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^a+\left(\dfrac{1}{3}\right)^a \geq 1$
Xét hàm số $f(a)=2 \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^a+\left(\dfrac{1}{3}\right)^a$ với $a \geq 0$ là hàm số nghịch biến trên $[a ;+\infty)$ mà $f(2)=1$ $\Rightarrow f(a) \geq 1 \Leftrightarrow 0 \leq a \leq 2$
Kết hợp nên $1 \leq x+2 y \leq 2^2 \Rightarrow 0 \leq y \leq 2 ; 0 \leq x \leq 4$ mà $x ; y \in \mathbb{N}$ sao cho $\log _3(x+y) \geq y-2$ và
$1 \leq x+2 y \leq 4$
Vậy ta có các cặp số cần tìm là $(0 ; 1) ;(0 ; 2) ;(1 ; 0) ;(1 ; 1) ;(2 ; 0) ;(2 ; 1) ;(3 ; 0) ;(4 ; 0)$.
Đáp án D.