Có bao nhiêu bộ $(x ; y)$ với $x, y$ nguyên và $1 \leq x, y \leq...

Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ của bất phương trình ta có: $1 \leq y \leq 2021,4 \leq x \leq 2021 ; x, y \in$ $\mathbb{Z}(1)$.
Ta có: $(x y+3 y) \cdot \log _3\left(\dfrac{3 y}{y+4}\right) \leq(2 x+2 y-x y-4) \log _2\left(\dfrac{x+1}{x-3}\right)$
$\Leftrightarrow(x+3) y \log _3\left(\dfrac{3 y}{y+4}\right)+(x-2)(y-2) \log _2\left(\dfrac{x+1}{x-3}\right) \leq 0 \quad(*)$
Ta có $f(x)=\log _2\left(\dfrac{x+1}{x-3}\right)>0, \forall x \in[4 ; 2021]$ (2)
+ Với $y=1$ thay vào $(*)$, ta được: $(x+3) \log _3\left(\dfrac{3}{5}\right)-(x-2) \log _2\left(\dfrac{x+1}{x-3}\right) \leq 0$ (luôn đúng với mọi $x \in[4 ; 2021]$ do (1) và (2)). Suy ra có 2018 bộ $(x, y)$.
+ Với $y=2$ thay vào $(*)$, ta được: $2(x+3) \log _3 1-0(x-2) \log _2\left(\dfrac{x+1}{x-3}\right) \leq 0$ luôn đúng với mọi $x \in[4 ; 2021]$. Suy ra có 2018 bộ $(x, y)$.
+ Với $3 \leq y \leq 2021$, ta có $g(y)=\log _3\left(\dfrac{3 y}{y+4}\right)>0, \forall y \in[3 ; 2021]$ (3), khi đó (*) vô nghiệm (do (2) và (3)).
Vậy có 4036 bộ $(x, y)$.