Có bao nhiêu bộ $(x ; y)$ với $x, y$ nguyên và $1 \leq x, y \leq...

Từ giả thiết kết hợp $Ð K X Ð$ của bất phương trình ta có: $1 \leq y \leq 2020 ; 4 \leq x \leq 2020 ; x, y \in Z$,(1).
Ta có:
$
\begin{aligned}
& (x y+2 x+4 y+8) \log _3\left(\dfrac{2 y}{y+2}\right) \leq(2 x+3 y-x y-6) \log _2\left(\dfrac{2 x+1}{x-3}\right) \Leftrightarrow(x+4)(y+2) \log _3\left(\dfrac{2 y}{y+2}\right)+ \\
& (x-3)(y-2) \log _2\left(\dfrac{2 x+1}{x-3}\right) \leq 0\left(^*\right) . \\
& \text { Xét } f(x)=\log _2\left(\dfrac{2 x+1}{x-3}\right)=\log _2\left(2+\dfrac{7}{x-3}\right)>0, \forall x \in[4 ; 2020] \text { (2). } \\
& \text { + Với } y=1 \text { thay vào }\left({ }^*\right) \text { ta được: } \\
& 3(x+4) \log _3\left(\dfrac{2}{3}\right)-(x-3) \log _2\left(\dfrac{2 x+1}{x-3}\right) \leq 0 \text { (luôn đúng } \forall x \in[4 ; 2020] \text { do (1) và (2)). }
\end{aligned}
$
Suy ra có 2017 bộ $(x ; y)$.
+ Với $y=2$ thay vào $(*)$ ta thấy luôn đúng $\forall x \in[4 ; 2020]$.
Suy ra có 2017 bộ $(x ; y)$.
+ Với $3 \leq y \leq 2020 \Rightarrow y-2>0$.
Xét $\mathrm{g}(\mathrm{y})=\log _3\left(\dfrac{2 y}{y+2}\right)=\log _3\left(\dfrac{y+y}{y+2}\right)>\log _3\left(\dfrac{y+2}{y+2}\right)=0, \forall y \geq 3$ (3).
Suy ra $(*)$ vô nghiệm (Do (2) và (3)).
Vậy có 4034 bộ $(x ; y)$.