Google
Câu hỏi: Cho số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1+2+3 i\right|=1$ và $\left|z_2-1+i\right|=\left|z_2-2\right|$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z_1-z_2\right|+\left|z_2-2+2 i\right|$
A. $\sqrt{17}-1$.
B. $\sqrt{29}+1$.
C. $\sqrt{29}-1$.
D. $\sqrt{17}+1$.
A. $\sqrt{17}-1$.
B. $\sqrt{29}+1$.
C. $\sqrt{29}-1$.
D. $\sqrt{17}+1$.
$\left|z_1+2+3 i\right|=1$ nên tập hợp điểm $M$ biểu diễn số $z_1$ là đường tròn tâm $I(-2 ;-3)$ có bán kính $R=$ 1.
$\left|z_2-1+i\right|=\left|z_2-2\right|$ nên tập hợp điểm $N$ biểu diễn số $z_2$ là đường thẳng $d: x+y-1=0$.
Gọi $H(2 ;-2)$ là điểm biểu diển số phức $z=2-2 i$.
Khi đó $P=\left|z_1-z_2\right|+\left|z_2-2+2 i\right|=M N+N H$.
Đối xứng đường tròn tâm $I(-2 ;-3)$ có bán kính $R=1$ qua đường thẳng $d$ ta được đường tròn tâm $I^{\prime}(4 ; 3)$ có bán kính $R^{\prime}=1$. Khi đó điểm $M$ có ảnh là điểm $M^{\prime}$ và $M N=M^{\prime} N$.
Vậy $P=M^{\prime} N+N H \geq M^{\prime} H \geq M_0 H=I^{\prime} H-R^{\prime}=\sqrt{(4-2)^2+(3+2)^2}-1=\sqrt{29}-1$.
$\left|z_2-1+i\right|=\left|z_2-2\right|$ nên tập hợp điểm $N$ biểu diễn số $z_2$ là đường thẳng $d: x+y-1=0$.
Gọi $H(2 ;-2)$ là điểm biểu diển số phức $z=2-2 i$.
Khi đó $P=\left|z_1-z_2\right|+\left|z_2-2+2 i\right|=M N+N H$.
Vậy $P=M^{\prime} N+N H \geq M^{\prime} H \geq M_0 H=I^{\prime} H-R^{\prime}=\sqrt{(4-2)^2+(3+2)^2}-1=\sqrt{29}-1$.
Đáp án C.