Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC\cdot A'B'C'$ có chiều cao bằng $8$ và đáy là tam giác đều cạnh bằng $6$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là tâm của các mặt bên $ABB'A'$, $ACC'A'$ và $BCC'B'$. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A,B,C,M,N,P$ bằng:
A. $27\sqrt{3}$.
B. $21\sqrt{3}$.
C. $30\sqrt{3}$.
D. $36\sqrt{3}$.
Khối lăng trụ $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ có chiều cao là $4$ là tam giác đều cạnh $6$.
Ba khối chóp $A.{{A}_{1}}MN$, $B{{B}_{1}}MP$, $C{{C}_{1}}NP$ đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh bằng 3.
Ta có: ${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}-\left( {{V}_{A.{{A}_{1}}MN}}+{{V}_{B.{{B}_{1}}MP}}+{{V}_{C.{{C}_{1}}NP}} \right)$ $\begin{aligned}
& \\
& \\
\end{aligned} $ $ =\dfrac{{{6}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot 4-3\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 4=27\sqrt{3}$
A. $27\sqrt{3}$.
B. $21\sqrt{3}$.
C. $30\sqrt{3}$.
D. $36\sqrt{3}$.
Gọi ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AA',BB',CC'$.Khối lăng trụ $ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ có chiều cao là $4$ là tam giác đều cạnh $6$.
Ba khối chóp $A.{{A}_{1}}MN$, $B{{B}_{1}}MP$, $C{{C}_{1}}NP$ đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh bằng 3.
Ta có: ${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}-\left( {{V}_{A.{{A}_{1}}MN}}+{{V}_{B.{{B}_{1}}MP}}+{{V}_{C.{{C}_{1}}NP}} \right)$ $\begin{aligned}
& \\
& \\
\end{aligned} $ $ =\dfrac{{{6}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot 4-3\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 4=27\sqrt{3}$
Đáp án A.