Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $A B C \cdot A' B'C'$ có $A C^{\prime}=8$, diện tích của tam giác ${A}'BC$ bằng $9$ và đường thẳng $A{C}'$ tạo với mặt phẳng $\left(A' B C\right)$ một góc $60^{\circ}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $12$.
B. $18$.
C. $18 \sqrt{3}$.
D. $12 \sqrt{3}$.
Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng ${A}'BC$ và $M$ là giao điểm của ${A}'C$ và $A{C}'$. Vì $A{C}'=8$ nên $AM=4$.
Ta có $\left( A{C}',\left( {A}'BC \right) \right)=\widehat{AMI}=60{}^\circ $.
Từ đó ta có: $AI=AM\cdot \sin 60{}^\circ =4\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
${{V}_{A.{A}'BC}}=\dfrac{1}{3}AI\cdot {{S}_{\Delta {A}'BC}}=\dfrac{1}{3}\cdot 9\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.
Mặt khác ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{A.{A}'BC}}=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$.
A. $12$.
B. $18$.
C. $18 \sqrt{3}$.
D. $12 \sqrt{3}$.
Ta có $\left( A{C}',\left( {A}'BC \right) \right)=\widehat{AMI}=60{}^\circ $.
Từ đó ta có: $AI=AM\cdot \sin 60{}^\circ =4\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
${{V}_{A.{A}'BC}}=\dfrac{1}{3}AI\cdot {{S}_{\Delta {A}'BC}}=\dfrac{1}{3}\cdot 9\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.
Mặt khác ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=3{{V}_{A.{A}'BC}}=3\cdot 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$.
Đáp án C.