Google
Câu hỏi: Cho khối trụ có chiều cao bằng $4\sqrt{3}$ và diện tích xung quanh bằng $32\pi \sqrt{3}$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm lần lượt thuộc hai đường tròn đáy của khối trụ sao cho góc giữa $AB$ và trục của hình trụ bằng $30{}^\circ $, khoảng cách $AB$ và trục của hình trụ bằng
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $4\sqrt{3}$.
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của $A$ lên đường tròn đáy tâm $O$ như hình vẽ.
Gọi $M$ là trung điểm ${A}'B$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OM\bot {A}'B \\
& OM\bot {A}'A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OM\bot \left( A{A}'B \right)$.
$O{O}'\text{//}A{A}' \Rightarrow O{O}'\text{//}\left( A{A}'B \right)\Rightarrow d\left( O{O}', AB \right)=d\left( O, \left( A{A}'B \right) \right)=OM$.
$\left( \widehat{O{O}', AB} \right)=\left( \widehat{A{A}', AB} \right)=\widehat{{A}'AB}={{30}^{0}}$.
$\tan 30{}^\circ =\dfrac{{A}'B}{A{A}'}\Rightarrow {A}'B=A{A}'.\tan {{30}^{0}}=4\sqrt{3}.\tan 30{}^\circ =4$.
Lại có ${{S}_{\text{xq}}}=2\pi rh=2\pi r4\sqrt{3}=32\pi \sqrt{3}\Rightarrow r=4=O{A}'=OB={A}'B\Rightarrow \Delta O{A}'B$ đều.
Vậy $\text{d}\left( O{O}', AB \right)=OM=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $4\sqrt{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm ${A}'B$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OM\bot {A}'B \\
& OM\bot {A}'A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OM\bot \left( A{A}'B \right)$.
$O{O}'\text{//}A{A}' \Rightarrow O{O}'\text{//}\left( A{A}'B \right)\Rightarrow d\left( O{O}', AB \right)=d\left( O, \left( A{A}'B \right) \right)=OM$.
$\left( \widehat{O{O}', AB} \right)=\left( \widehat{A{A}', AB} \right)=\widehat{{A}'AB}={{30}^{0}}$.
$\tan 30{}^\circ =\dfrac{{A}'B}{A{A}'}\Rightarrow {A}'B=A{A}'.\tan {{30}^{0}}=4\sqrt{3}.\tan 30{}^\circ =4$.
Lại có ${{S}_{\text{xq}}}=2\pi rh=2\pi r4\sqrt{3}=32\pi \sqrt{3}\Rightarrow r=4=O{A}'=OB={A}'B\Rightarrow \Delta O{A}'B$ đều.
Vậy $\text{d}\left( O{O}', AB \right)=OM=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
Đáp án A.
