Google
Câu hỏi: Cho khối nón $\left( N \right)$ có thiết diện qua trục là tam giác đều. Một khối cầu $\left( S \right)$ đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của khối nón. Tỷ số thể tích của khối cầu và thể tích khối nón
A. $\dfrac{32}{9}$.
B. $\dfrac{32}{15}$.
C. $\dfrac{15}{32}$.
D. $\dfrac{9}{32}$.
A. $\dfrac{32}{9}$.
B. $\dfrac{32}{15}$.
C. $\dfrac{15}{32}$.
D. $\dfrac{9}{32}$.
Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều $SAB$ cạnh $x$.
Thế tích khối nón: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{1}}^{2}{{h}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}\dfrac{x\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi \sqrt{3}{{x}^{3}}}{24}$.
Gọi $I$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Suy ra bán kính khối cầu $R=IA=\dfrac{2}{3}\dfrac{x\sqrt{3}}{2}=\dfrac{x\sqrt{3}}{3}$.
Thế tích khối cầu: ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{\pi 4\sqrt{3}{{x}^{3}}}{27}$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\dfrac{32}{9}$.
Thế tích khối nón: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{1}}^{2}{{h}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}\dfrac{x\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi \sqrt{3}{{x}^{3}}}{24}$.
Gọi $I$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Suy ra bán kính khối cầu $R=IA=\dfrac{2}{3}\dfrac{x\sqrt{3}}{2}=\dfrac{x\sqrt{3}}{3}$.
Thế tích khối cầu: ${{V}_{2}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{\pi 4\sqrt{3}{{x}^{3}}}{27}$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\dfrac{32}{9}$.
Đáp án A.
