Google
Câu hỏi: Cho khối nón có thiết diện qua trục là tam giác $SAB$ vuông tại $S$. Biết tam giác $SAB$ có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $2\left( \sqrt{2}-1 \right)$. Tính thể tích khối nón đã cho
A. $\dfrac{16\pi }{3}$.
B. $\dfrac{2\pi }{3}$.
C. $\dfrac{4\pi }{3}$.
D. $\dfrac{8\pi }{3}$.
Theo đề $\Delta SAB$ vuông tại $S$ và $SA=SB$ nên suy ra $\Delta SAB$ vuông cân tại $S$
Đặt $SA=SB=a$ suy ra $AB=a\sqrt{2}$ và đường cao $SO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Diện tích tam giác $SAB$ là $S=\dfrac{1}{2}SA.SB=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Ta có $p=\dfrac{SA+SB+AB}{2}=\dfrac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a+a\sqrt{2}}{2}$
Suy ra $S=pr=\dfrac{2a+a\sqrt{2}}{2}.2\left( \sqrt{2}-1 \right)=\left( 2a+a\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)$
Từ đó suy ra $\left( 2a+a\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Leftrightarrow a=2\sqrt{2}$
Suy ra $SO=OB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=2$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{B}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}.2=\dfrac{8\pi }{3}$
A. $\dfrac{16\pi }{3}$.
B. $\dfrac{2\pi }{3}$.
C. $\dfrac{4\pi }{3}$.
D. $\dfrac{8\pi }{3}$.
Đặt $SA=SB=a$ suy ra $AB=a\sqrt{2}$ và đường cao $SO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Diện tích tam giác $SAB$ là $S=\dfrac{1}{2}SA.SB=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Ta có $p=\dfrac{SA+SB+AB}{2}=\dfrac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2a+a\sqrt{2}}{2}$
Suy ra $S=pr=\dfrac{2a+a\sqrt{2}}{2}.2\left( \sqrt{2}-1 \right)=\left( 2a+a\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)$
Từ đó suy ra $\left( 2a+a\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Leftrightarrow a=2\sqrt{2}$
Suy ra $SO=OB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=2$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{B}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}.2=\dfrac{8\pi }{3}$
Đáp án D.
