Google
Câu hỏi: Cho khối nón $\left( N \right)$ có bán kính đáy $r=4a$ và chiều cao lớn hơn bán kính đáy. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh nón và tạo với đáy nón một góc $60{}^\circ $ cắt khối nón $\left( N \right)$ theo thiết diện là một tam giác có diện tích bằng $8\sqrt{3}{{a}^{2}}$. Thể tích của khối nón $\left( N \right)$ bằng
A. $64\pi {{a}^{3}}$.
B. $96\pi {{a}^{3}}$.
C. $32\pi {{a}^{3}}$.
D. $192\pi {{a}^{3}}$.
Gọi thiết diện là tam giác $SAB$ và $I$ là trung điểm của đoạn $AB$.
Ta có $OI\bot AB$ và $SI\bot AB$ nên $\widehat{SIO}=60{}^\circ $.
Gọi $SO=h\left( h>4a \right)$ ta có $OI=\dfrac{SO}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow AB=2AI=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{3{{h}^{2}}}{9}}$ và $SI=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}$.
Do đó ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB$ $\Leftrightarrow 8\sqrt{3}{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}.2\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{3{{h}^{2}}}{9}}$ $\Leftrightarrow 12{{a}^{2}}=h.\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{3{{h}^{2}}}{9}}$ $\Leftrightarrow 144{{a}^{4}}={{h}^{2}}\left( 16{{a}^{2}}-\dfrac{3{{h}^{2}}}{9} \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{h}^{4}}-16{{a}^{2}}{{h}^{2}}+144{{a}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{h}^{2}}=36{{a}^{2}} \\
& {{h}^{2}}=12{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=6a\left( nhan \right) \\
& h=2\sqrt{3}a\left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{V}_{\left( N \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 4a \right)}^{2}}.6a=32\pi {{a}^{3}}$.
A. $64\pi {{a}^{3}}$.
B. $96\pi {{a}^{3}}$.
C. $32\pi {{a}^{3}}$.
D. $192\pi {{a}^{3}}$.
Ta có $OI\bot AB$ và $SI\bot AB$ nên $\widehat{SIO}=60{}^\circ $.
Gọi $SO=h\left( h>4a \right)$ ta có $OI=\dfrac{SO}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{h\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow AB=2AI=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{3{{h}^{2}}}{9}}$ và $SI=\dfrac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}$.
Do đó ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB$ $\Leftrightarrow 8\sqrt{3}{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2h\sqrt{3}}{3}.2\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{3{{h}^{2}}}{9}}$ $\Leftrightarrow 12{{a}^{2}}=h.\sqrt{16{{a}^{2}}-\dfrac{3{{h}^{2}}}{9}}$ $\Leftrightarrow 144{{a}^{4}}={{h}^{2}}\left( 16{{a}^{2}}-\dfrac{3{{h}^{2}}}{9} \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{{h}^{4}}-16{{a}^{2}}{{h}^{2}}+144{{a}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{h}^{2}}=36{{a}^{2}} \\
& {{h}^{2}}=12{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=6a\left( nhan \right) \\
& h=2\sqrt{3}a\left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{V}_{\left( N \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 4a \right)}^{2}}.6a=32\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án C.