Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có độ dài cạnh đáy bằng $2a$. Côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ và $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ ; $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$, $C$ trên $B{C}'$.
Ta có: $\left( AB{C}' \right)\cap \left( BC{C}'{B}' \right)=B{C}'$ ; $B{C}'\bot AM, MH$ $\Rightarrow B{C}'\bot \left( AMH \right)$ $\Rightarrow \left( \widehat{\left( AB{C}' \right),\left( BC{C}'{B}' \right)} \right)=\widehat{AHM}$ $\Rightarrow cos\widehat{AHM}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \cot \widehat{AHM}=\dfrac{1}{\sqrt{11}}$.
Xét tam giác $AMH$ vuông tại $M$ có: $AM=a\sqrt{3}$ ; $MH=AM.\cot \widehat{AHM}=\dfrac{1}{\sqrt{11}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$ $\Rightarrow CK=2MH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{C{{B}^{2}}}=\dfrac{2}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow C{C}'=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.C{C}'=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{2}}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
Ta có: $\left( AB{C}' \right)\cap \left( BC{C}'{B}' \right)=B{C}'$ ; $B{C}'\bot AM, MH$ $\Rightarrow B{C}'\bot \left( AMH \right)$ $\Rightarrow \left( \widehat{\left( AB{C}' \right),\left( BC{C}'{B}' \right)} \right)=\widehat{AHM}$ $\Rightarrow cos\widehat{AHM}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \cot \widehat{AHM}=\dfrac{1}{\sqrt{11}}$.
Xét tam giác $AMH$ vuông tại $M$ có: $AM=a\sqrt{3}$ ; $MH=AM.\cot \widehat{AHM}=\dfrac{1}{\sqrt{11}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$ $\Rightarrow CK=2MH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{C{{B}^{2}}}=\dfrac{2}{3{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow C{C}'=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.C{C}'=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{\sqrt{2}}$.
Đáp án C.