Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a, $ tam giác $SAB$ vuông cân tại $S, $ tam giác $SCD$ có $SC=SD=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{7}}{16}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{13}}{24}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{15}}{64}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{32}{{a}^{3}}$.
Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, CD$. Kẻ $SH\bot FE$ tại H.
Khi đó ta có: $\left. \begin{aligned}
& AB\bot SE \\
& AB\bot FE \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SFE \right)\Rightarrow SB\bot SH$.
Mà $SH\bot FE$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ tại $H$.
Ta có $\Delta SAB$ vuông cân tại $S; AB=a\Rightarrow SE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}a$.
$\Delta SDF$ vuông ở $F\Rightarrow SF=\sqrt{S{{D}^{2}}-F{{D}^{2}}}=\dfrac{3a}{4}$.
Xét tam giác $SFE$ có: $SE=\dfrac{a}{2}; FE=a; SF=\dfrac{3}{4}a\Rightarrow {{p}_{\Delta SFE}}=\dfrac{9}{8}a$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SFE}}=\sqrt{p.\left( p-SF \right)\left( p-SE \right)\left( p-FE \right)}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{64}$.
Mà ${{S}_{\Delta SFE}}=\dfrac{1}{2}SH.FE=\dfrac{1}{2}SH.a\Rightarrow \dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{64}=\dfrac{1}{2}SH.a\Rightarrow SH=\dfrac{3a\sqrt{15}}{32}$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.\dfrac{3a\sqrt{15}}{32}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{32}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{7}}{16}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{13}}{24}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{15}}{64}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{32}{{a}^{3}}$.
Khi đó ta có: $\left. \begin{aligned}
& AB\bot SE \\
& AB\bot FE \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SFE \right)\Rightarrow SB\bot SH$.
Mà $SH\bot FE$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ tại $H$.
Ta có $\Delta SAB$ vuông cân tại $S; AB=a\Rightarrow SE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}a$.
$\Delta SDF$ vuông ở $F\Rightarrow SF=\sqrt{S{{D}^{2}}-F{{D}^{2}}}=\dfrac{3a}{4}$.
Xét tam giác $SFE$ có: $SE=\dfrac{a}{2}; FE=a; SF=\dfrac{3}{4}a\Rightarrow {{p}_{\Delta SFE}}=\dfrac{9}{8}a$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SFE}}=\sqrt{p.\left( p-SF \right)\left( p-SE \right)\left( p-FE \right)}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{64}$.
Mà ${{S}_{\Delta SFE}}=\dfrac{1}{2}SH.FE=\dfrac{1}{2}SH.a\Rightarrow \dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{15}}{64}=\dfrac{1}{2}SH.a\Rightarrow SH=\dfrac{3a\sqrt{15}}{32}$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.\dfrac{3a\sqrt{15}}{32}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{32}$.
Đáp án D.
