Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ lấy hai điểm $A, B$ ; trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ lấy hai điểm $C, D$ sao cho $ABCD$ là hình vuông và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ tạo với đáy của hình trụ góc ${{45}^{o}}$. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
A. $\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{2}$.
B. $6\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
C. $3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{8}$.
Giả sử tâm của đáy thứ nhất và đáy thứ hai của hình trụ lần lượt là $O$ và ${O}'$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ.
Ta có: $CD\bot AD, AH$ $\Rightarrow CD\bot DH$, tức là $CH$ là đường kính đáy thứ hai của hình trụ.
$CD\bot \left( ADH \right)$ ; $\left( ADH \right)\cap \left( ABCD \right)=AD$ ; $\left( ADH \right)\cap \left( CDH \right)=DH$ $\Rightarrow \left( \widehat{\left( ABCD \right), \left( CDH \right)} \right)=\widehat{ADH}={{45}^{o}}$ $\Rightarrow \Delta ADH$ vuông cân tại $H$ có $AH=DH=O{O}'=a\sqrt{2}$, $AD=AH\sqrt{2}=O{O}'\sqrt{2}=2a$ $\Rightarrow CD=2a$ $\Rightarrow CH=\sqrt{{{\left( CD \right)}^{2}}+{{\left( DH \right)}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Vậy thể tích khối trụ bằng: $\pi {{\left( \dfrac{CH}{2} \right)}^{2}}.O{O}'=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{2}$.
B. $6\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
C. $3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{8}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ.
Ta có: $CD\bot AD, AH$ $\Rightarrow CD\bot DH$, tức là $CH$ là đường kính đáy thứ hai của hình trụ.
$CD\bot \left( ADH \right)$ ; $\left( ADH \right)\cap \left( ABCD \right)=AD$ ; $\left( ADH \right)\cap \left( CDH \right)=DH$ $\Rightarrow \left( \widehat{\left( ABCD \right), \left( CDH \right)} \right)=\widehat{ADH}={{45}^{o}}$ $\Rightarrow \Delta ADH$ vuông cân tại $H$ có $AH=DH=O{O}'=a\sqrt{2}$, $AD=AH\sqrt{2}=O{O}'\sqrt{2}=2a$ $\Rightarrow CD=2a$ $\Rightarrow CH=\sqrt{{{\left( CD \right)}^{2}}+{{\left( DH \right)}^{2}}}=a\sqrt{6}$.
Vậy thể tích khối trụ bằng: $\pi {{\left( \dfrac{CH}{2} \right)}^{2}}.O{O}'=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.
