Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và có chiều cao bằng $R\sqrt{3}$. Hai điểm $A,B$ lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho khoảng cách giữa đường thẳng $AB$ và trục của hình trụ bằng $\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và trục của hình trụ bằng:
A. ${{90}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{45}^{0}}$.
Kẻ $AA'//\text{O O }\!\!'\!\!$ ( $A'$ thuộc đường tròn đáy của hình trụ)
Gọi H là trung điểm của $A'B$
Có $\left\{ \begin{matrix}
O'H\bot A'B \\
O'H\bot AA' \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow O'H\bot (ABA')$
$d(AB;OO')=d\left( OO';\left( ABA' \right) \right)=d\left( O';\left( ABA' \right) \right)=O'H=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.
$\Rightarrow A'B=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=R$.
Góc giữa đường thẳng $AB$ và trục của hình trụ là góc giữa $AB$ và $AA'$, là góc $\angle BAA'$
Xét tam giác $ABA'$ vuông tại $A'$, có $\tan BAA'=\dfrac{A'B}{AA'}=\dfrac{R}{R\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \angle BAA'={{30}^{0}}$
A. ${{90}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{45}^{0}}$.
Gọi H là trung điểm của $A'B$
Có $\left\{ \begin{matrix}
O'H\bot A'B \\
O'H\bot AA' \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow O'H\bot (ABA')$
$d(AB;OO')=d\left( OO';\left( ABA' \right) \right)=d\left( O';\left( ABA' \right) \right)=O'H=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.
$\Rightarrow A'B=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=R$.
Góc giữa đường thẳng $AB$ và trục của hình trụ là góc giữa $AB$ và $AA'$, là góc $\angle BAA'$
Xét tam giác $ABA'$ vuông tại $A'$, có $\tan BAA'=\dfrac{A'B}{AA'}=\dfrac{R}{R\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \angle BAA'={{30}^{0}}$
Đáp án B.