Google
Câu hỏi: Cho hình nón tròn xoay đỉnh $S$ có chiều cao bằng bán kính đáy. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh $S$ cắt đường tròn đáy tại $A$ và $B$ sao cho $AB=2a$. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến $\left( P \right)$, biết thể tích khối nón là $V={{a}^{3}}\pi \sqrt{3}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{5}$.
B. $a\sqrt{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h\Leftrightarrow 3{{a}^{3}}\sqrt{3}={{R}^{3}}\Leftrightarrow R=a\sqrt{3} \left( cm \right)$.
$\Rightarrow R=h=a\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Kẻ $OH\bot SI$. Khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& SI\bot AB \\
& OI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SIO \right)$
$\Rightarrow OH\bot AB$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=OH$.
Xét $\Delta AOI$ vuông tại $I$ ta có: $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \left( cm \right)$
Xét $\Delta SIO$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$, ta có:
$OH=\dfrac{SO.OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{5} \left( cm \right)$
A. $\dfrac{a\sqrt{6}}{5}$.
B. $a\sqrt{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$.
$\Rightarrow R=h=a\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Kẻ $OH\bot SI$. Khi đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& SI\bot AB \\
& OI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SIO \right)$
$\Rightarrow OH\bot AB$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=OH$.
Xét $\Delta AOI$ vuông tại $I$ ta có: $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \left( cm \right)$
Xét $\Delta SIO$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$, ta có:
$OH=\dfrac{SO.OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{a\sqrt{5}}=\dfrac{a\sqrt{30}}{5} \left( cm \right)$
Đáp án C.
